Calcule o comprimento da curva gamma(t)=(t sen(t), tcos(t), t) para t in[0, raiz2].

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva
gamma(t) = l(tsin t,;tcos t,;tr)
para L = integrala^b l|gamma'(t)r|,dt . O conteúdo aqui é comprimento de curva paramétrica no , em que usamos a fórmula

Passo 2

Vamos calcular gamma'(t) = l(sin t + tcos t,;cos t - tsin t,;1r) . Derivando cada componente:

Passo 3

Agora computamos a norma ao quadrado:
l|gamma'(t)r|^2 = (sin t + tcos t)^2 + (cos t - tsin t)^2 + 1
Expandindo os dois primeiros termos vê-se que os termos mistos se cancelam e sobra
sin^2 t + cos^2 t + t^2(cos^2 t + sin^2 t) = 1 + t^2
Logo
l|gamma'(t)r| = raiz1 + t^2 + 1 = raizt^2 + 2

Passo 4

O comprimento é
L = integral0^raiz2 raizt^2 + 2,dt
Para essa integral usamos o resultado padrão
integral raizt^2 + a^2,dt = t2raizt^2 + a^2 + a^22lnl(t + raizt^2 + a^2r) + C,
aqui com .

Passo 5

Aplicando a primitiva em integral0^raiz2raizt^2+2,dt = [t2raizt^2+2 + lnl(t+raizt^2+2r)]0^raiz2 e :
Em temos , então o termo é
.
Em o valor é .

Passo 6

Subtraindo os valores de cima e de baixo:
L = l(raiz2 + ln(2+raiz2)r) - ln(raiz2) = raiz2 + ln!l(tfrac2+raiz2raiz2r)
Como L = raiz2 + ln(raiz2 + 1) , obtemos

Resposta

L = raiz2 + lnl(raiz2 + 1r)

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