Calcule o comprimento da curva
para
.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento da curva
para
. O conteúdo aqui é comprimento de curva paramétrica no
, em que usamos a fórmula
Passo 2
Vamos calcular
gamma'(t) = l(sin t + tcos t,;cos t - tsin t,;1r) . Derivando cada componente:
Passo 3
Agora computamos a norma ao quadrado:
Expandindo os dois primeiros termos vê-se que os termos mistos se cancelam e sobra
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Passo 4
O comprimento é
Para essa integral usamos o resultado padrão
aqui com
.
Passo 5
Aplicando a primitiva em
integral0^raiz2raizt^2+2,dt = [t2raizt^2+2 + lnl(t+raizt^2+2r)]0^raiz2 e
:
Em
temos
, então o termo é
.
Em o valor é
.
Em
Passo 6
Subtraindo os valores de cima e de baixo:
Como
L = raiz2 + ln(raiz2 + 1) , obtemos