Identifique a curva:
r=4 \cos \theta

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r=4\cos\theta
e pede que a identifiquemos — ou seja, descobrir que tipo de curva é e suas características geométricas (equação em coordenadas cartesianas, centro, raio, etc.). As únicas informações fornecidas são a expressão polar acima e que as variáveis são r e \theta.

Passo 2

Primeiro, lembre das relações entre coordenadas polares e cartesianas. São fórmulas básicas que sempre usamos para passar de uma representação para a outra:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad r^2 = x^2+y^2.
Explicando rapidinho: \;x e \;y são as coordenadas usuais no plano; \;r é a distância do ponto à origem; \theta é o ângulo que o raio vetor faz com o eixo x. Essas fórmulas vêm direto da definição de seno e cosseno num triângulo retângulo.

Passo 3

Aplicar uma operação simples para eliminar \theta. Multiplica-se a equação polar por r:
r\cdot r = r\cdot 4\cos\theta
ou seja
r^2 = 4r\cos\theta.

Passo 4

Agora substitui-se as expressões cartesianas: \;r^2 = x^2+y^2 e \;r\cos\theta = x. Assim obtemos
x^2+y^2 = 4x.
Isso já é quase a forma padrão de um círculo; para ver claramente centro e raio, completamos o quadrado em x. Reescrevendo:
x^2 - 4x + y^2 = 0.
Completar o quadrado em x: somamos e subtraímos 4 (pois (x-2)^2 = x^2 -4x +4):
(x^2 -4x +4) + y^2 = 4
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(x-2)^2 + y^2 = 4.
Essa é a equação cartesiana na forma padrão.

Passo 5

Interpretação geométrica: a equação (x-2)^2 + y^2 = 4 é a de um círculo de centro (2,0) e raio 2. Então a curva dada por \;r=4\cos\theta é exatamente esse círculo deslocado para a direita.

Passo 6

Comentários sobre como a curva é traçada em coordenadas polares (útil na hora da prova):
  • Para \cos\theta\ge 0 (isto é, \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]) tem-se r\ge 0; ao variar \theta nesse intervalo a curva é percorrida uma vez completamente.
  • Para valores fora desse intervalo r fica negativo, o que corresponde ao mesmo ponto com ângulo \theta+\pi; portanto, a equação polar com todo \theta também representa o mesmo círculo.
  • Verificações rápidas: \theta=0\Rightarrow r=4 dá o ponto (4,0) que satisfaz (4-2)^2+0^2=4. \theta=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow r=0 dá a origem, que também pertence ao círculo (pois (0-2)^2+0^2=4).

Resposta

(x-2)^2 + y^2 = 4
Círculo de centro (2,0) e raio 2.

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