Identifique a curva:
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
e pede que a identifiquemos — ou seja, descobrir que tipo de curva é e suas características geométricas (equação em coordenadas cartesianas, centro, raio, etc.). As únicas informações fornecidas são a expressão polar acima e que as variáveis são
e
.
Passo 2
Primeiro, lembre das relações entre coordenadas polares e cartesianas. São fórmulas básicas que sempre usamos para passar de uma representação para a outra:
Explicando rapidinho:
e
são as coordenadas usuais no plano;
é a distância do ponto à origem;
é o ângulo que o raio vetor faz com o eixo
. Essas fórmulas vêm direto da definição de seno e cosseno num triângulo retângulo.
Passo 3
Aplicar uma operação simples para eliminar
. Multiplica-se a equação polar por
:
ou seja
Passo 4
Agora substitui-se as expressões cartesianas:
e
. Assim obtemos
Isso já é quase a forma padrão de um círculo; para ver claramente centro e raio, completamos o quadrado em
. Reescrevendo:
Completar o quadrado em
: somamos e subtraímos
(pois
):
logo
Essa é a equação cartesiana na forma padrão.
Passo 5
Interpretação geométrica: a equação
é a de um círculo de centro
e raio
. Então a curva dada por
é exatamente esse círculo deslocado para a direita.
Passo 6
Comentários sobre como a curva é traçada em coordenadas polares (útil na hora da prova):
- Para
(isto é, ) tem-se ; ao variar nesse intervalo a curva é percorrida uma vez completamente. - Para valores fora desse intervalo
fica negativo, o que corresponde ao mesmo ponto com ângulo ; portanto, a equação polar com todo também representa o mesmo círculo. - Verificações rápidas:
dá o ponto que satisfaz . dá a origem, que também pertence ao círculo (pois ).
Resposta
Círculo de centro