Calcule o comprimento da curva
Passo 1
O exercício pede calcular o comprimento da curva paramétrica
no intervalo
. O conteúdo é cálculo de comprimento de curva, para o qual usamos a fórmula
.
Passo 2
Calculamos a derivada de
. Usando regra do produto e as derivadas
,
e
, obtemos
Passo 3
Agora achamos a norma de
. Primeiro calculamos o quadrado:
Expandindo dentro dos colchetes e somando termos, vem
$$(\cos t-\sin t)^2+(\sin t+\cos t)^2 = \cos^2t -2\sin t\cos t+\sin^2t +\sin^2t+2\sin t\cos t+\cos^2t = 2(\cos2t+\sin2t)=2.
|\vec r’(t)| = \sqrt{2e^{2t}} = \sqrt2,e^t.
$$
Passo 4
Substituímos no integral de comprimento: