Calcule o comprimento da curva
r(t)=e^t cos t i+e^t sen t j com 0 <= t <= 2

Passo 1

O exercício pede calcular o comprimento da curva paramétrica vec r(t)=e^tcos t,vec i+e^tsin t,vec j no intervalo 0<= t<=2. O conteúdo é cálculo de comprimento de curva, para o qual usamos a fórmula L=integrala^b|vec r'(t)|,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada de vec r(t). Usando regra do produto e as derivadas (e^t)'=e^t, (cos t)'=-sin t e (sin t)'=cos t, obtemos
vec r'(t)=l(e^tcos t - e^tsin tr),vec i + l(e^tsin t + e^tcos tr),vec j = e^t(cos t-sin t),vec i + e^t(sin t+cos t),vec j

Passo 3

Agora achamos a norma de vec r'(t). Primeiro calculamos o quadrado:
|vec r'(t)|^2 = [e^t(cos t-sin t)]^2 + [e^t(sin t+cos t)]^2 = e^2t[(cos t-sin t)^2+(sin t+cos t)^2]
Expandindo dentro dos colchetes e somando termos, vem
$$(\cos t-\sin t)^2+(\sin t+\cos t)^2 = \cos^2t -2\sin t\cos t+\sin^2t +\sin^2t+2\sin t\cos t+\cos^2t = 2(\cos2t+\sin2t)=2.
(cos t-sin t)^2+(sin t+cos t)^2 = cos^2t -2sin tcos t+sin^2t +sin^2t+2sin tcos t+cos^2t = 2(cos^2t+sin^2t)=2
|\vec r’(t)| = \sqrt{2e^{2t}} = \sqrt2,e^t.
$$

Passo 4

Substituímos no integral de comprimento:
L = integral0^2 |vec r'(t)|,dt = integral0^2 raiz2,e^t,dt = raiz2 integral0^2 e^t,dt = raiz2l[e^tr]0^2 = raiz2,(e^2-1)

Resposta

L=raiz2,(e^2-1)

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