Dado que a função y1(x)=x é uma solução da equação diferencial x^2 y^prime prime+2 x y^prime-2 y=0, utilize o Método de DAlembert para encontrar uma segunda solução y2(x) desta equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma equação diferencial dada por:
x^2 y'' + 2x y' - 2y = 0
E sabemos que uma das soluções dessa equação é $ y_{1}(x) = x $. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem, e vamos usar o Método de D’Alembert (também conhecido como redução de ordem) para encontrar uma segunda solução $ y_{2}(x) $.

Passo 2

Primeiro, como já temos uma solução $ y_{1}(x) = x $, assumimos que a segunda solução pode ser escrita como:
y1(x) = x
Onde $ v(x) $ é uma função que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos derivar $ y_{2}(x) $ para substituír na equação diferencial:
y2(x)
y2'(x) = v'(x) cdot x + v(x)

Passo 4

Substituímos $ y_{2}(x) $, $ y_{2}’(x) $ e $ y_{2}’’(x) $ na equação diferencial original:
y2(x)
Simplificando:
y2'(x)

Passo 5

Dividimos toda a equação por $ x^{2} $ para simplificar:
x^2
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem para $ v’(x) $.

Passo 6

Vamos chamar $ w = v’(x) $. A equação fica:
w = v'(x)
Dividimos por $ x $:
xw' + 4w = 0

Passo 7

Essa é uma equação linear que podemos resolver usando fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)
Multiplicamos a equação por $ \mu(x) $:
mu(x) = e^integral 4x dx = e^4 ln x = x^4
Que pode ser reescrita como:
mu(x)

Passo 8

Integrando ambos os lados:
x^4w = C
Então:
w = Cx^4
Lembrando que $ w = v’(x) $, temos:
w = v'(x)

Passo 9

Integrando novamente para encontrar $ v(x) $:
v(x)
Como estamos buscando uma solução particular, podemos considerar $ D = 0 $:
v(x) = integral Cx^4 dx = -C3x^3 + D

Passo 10

Agora, substituímos $ v(x) $ na expressão de $ y_{2}(x) $:
v(x)
Podemos simplificar omitindo constantes:
y2(x)

Resposta

A segunda solução da equação diferencial é:
y2(x) = 1x^2

Exercícios relacionados