Dado que a função
é uma solução da equação diferencial
, utilize o Método de DAlembert para encontrar uma segunda solução
desta equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma equação diferencial dada por:
E sabemos que uma das soluções dessa equação é $ y_{1}(x) = x $. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem, e vamos usar o Método de D’Alembert (também conhecido como redução de ordem) para encontrar uma segunda solução $ y_{2}(x) $.
Passo 2
Primeiro, como já temos uma solução $ y_{1}(x) = x $, assumimos que a segunda solução pode ser escrita como:
Onde $ v(x) $ é uma função que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos derivar $ y_{2}(x) $ para substituír na equação diferencial:
Passo 4
Substituímos $ y_{2}(x) $, $ y_{2}’(x) $ e $ y_{2}’’(x) $ na equação diferencial original:
Simplificando:
Passo 5
Dividimos toda a equação por $ x^{2} $ para simplificar:
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem para $ v’(x) $.
Passo 6
Vamos chamar $ w = v’(x) $. A equação fica:
Dividimos por $ x $:
Passo 7
Essa é uma equação linear que podemos resolver usando fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Multiplicamos a equação por $ \mu(x) $:
Que pode ser reescrita como:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
Então:
Lembrando que $ w = v’(x) $, temos:
Passo 9
Integrando novamente para encontrar $ v(x) $:
Como estamos buscando uma solução particular, podemos considerar $ D = 0 $:
Passo 10
Agora, substituímos $ v(x) $ na expressão de $ y_{2}(x) $:
Podemos simplificar omitindo constantes:
Resposta
A segunda solução da equação diferencial é: