Dado o plano pi: 2 x-y+5 z-10=0 determinar um vetor normal ao plano e um ponto do plano. E, verifique se M(1,-3,5) pertence ao plano pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação de um plano: pi: 2x - y + 5z - 10 = 0. A gente precisa encontrar um vetor normal a esse plano e um ponto que está nele. Depois, vamos verificar se o ponto M(1, -3, 5) pertence a esse plano. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, mais especificamente sobre planos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano. Em uma equação geral de um plano, Ax + By + Cz + D = 0, o vetor (A, B, C) é normal ao plano. No nosso caso, a equação é 2x - y + 5z - 10 = 0, então:
n = (2, -1, 5)
Esse é o vetor normal ao plano pi.

Passo 3

Agora, vamos encontrar um ponto que está no plano pi. Para isso, podemos escolher valores para duas das coordenadas e resolver para a terceira. Vamos facilitar escolhendo x = 0 e y = 0:
Substituindo na equação do plano:
2(0) - (0) + 5z - 10 = 0 Rightarrow 5z - 10 = 0 Rightarrow z = 2
Então, um ponto no plano é P(0, 0, 2).

Passo 4

Por fim, vamos verificar se o ponto M(1, -3, 5) está no plano pi. Para isso, substituímos as coordenadas de M na equação do plano e vemos se a igualdade é verdadeira:
2(1) - (-3) + 5(5) - 10 = 2 + 3 + 25 - 10 = 20
Como 20 neq 0, o ponto M(1, -3, 5) não pertence ao plano pi.

Resposta

Um vetor normal ao plano é n = (2, -1, 5), um ponto do plano é P(0, 0, 2), e o ponto M(1, -3, 5) não pertence ao plano pi.

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