Calcule o comprimento da curva r(t)=lang<=sen 3 t, 4 t^3 / 2, cos 3 trang<=.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva
r(t)=llang<= sin 3t,;4,t^3/2,;cos 3trrang<=
no intervalo de t=0 até um valor final t=T.
O conteúdo é comprimento de arco de curva paramétrica, que exige calcular r'(t), seu módulo l|r'(t)r| e depois integrar de 0 a T.

Passo 2

Vamos calcular a derivada componente a componente e depois o seu módulo.
r'(t) =llang<= ddt(sin 3t),;ddt(4,t^3/2),;ddt(cos 3t)rrang<= =llang<= 3cos 3t,;6raizt,;-3sin 3trrang<=
O módulo é
l|r'(t)r| =raiz(3cos3t)^2+(6raizt)^2+(-3sin3t)^2 =raiz9cos^2 3t +36t +9sin^2 3t =raiz9( cos^2 3t+sin^2 3t)+36t =3raiz1+4t

Passo 3

O comprimento de arco de t=0 até t=T é
L=integral0^Tl|r'(t)r|,dt =integral0^T3raiz1+4t,dt

Passo 4

Para integrar fazemos u=1+4t, então du=4,dt e dt=tfracdu4. Quando t=0 temos u=1, e quando t=T temos u=1+4T. Logo
L =3 integralu=1^1+4Traizu,du4 =34integral1^1+4Tu^1/2du =34cdot23l[u^3/2r]1^1+4T =12l[(1+4T)^3/2-1r]

Resposta

O comprimento da curva de t=0 até t=T é
L(T)=tfrac12l[(1+4T)^3/2-1r]

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