Dadas as funções
f(x)=cl e^x-5 & se x<1 ; 1x & se x >= 1 g(x)=cl raiz2-x & se x<1 ; ln (x+5) & se x >= 1
Determinar: f circ g e g circ f.

Passo 1

O enunciado apresenta as funções
f(x)= e^x-5,&se x<1, 1x,&se x>=1, g(x)= raiz2-x,&se x<1, ln(x+5),&se x>=1
Precisamos encontrar fcirc g e gcirc f. Para isso, vamos analisar em cada região qual ramo de g se aplica ao domínio original e, em seguida, qual ramo de f deve ser usado dependendo do valor de g(x), e vice-versa.

Passo 2

Calculemos (fcirc g)(x)=fl(g(x)r). Primeiro, para x<1 temos
g(x)=raiz2-x
Note que, para x<1, 2-x>1 e assim raiz2-x>=1. Logo g(x)>=1 e ao compor em f usamos o ramo de f para argumentos >=1, que é f(y)=1/y. Assim, se x<1,
(fcirc g)(x)=1raiz2-x

Passo 3

Agora, para x>=1 temos
g(x)=ln(x+5)
Como x>=1 implica x+5>=6 e ln(x+5)>=ln6>1, vale novamente g(x)>=1. Assim continuamos usando f(y)=1/y. Logo, se x>=1,
(fcirc g)(x)=1ln(x+5)

Passo 4

Portanto, concluímos
(fcirc g)(x)= dfrac1raiz2-x,&x<1,[6pt] dfrac1ln(x+5),&x>=1 ]

Passo 5

Agora calculemos (gcirc f)(x)=gl(f(x)r). Primeiro, para x<1 temos
f(x)=e^x-5
Esse valor satisfaz e^x-5<e^1-5<0, logo f(x)<1. Assim em g usamos o ramo de argumento <1, que é g(y)=raiz2-y. Então, se x<1,
(gcirc f)(x)=raiz,2-l(e^x-5r)=raiz7-e^x

Passo 6

Para x>1 temos
f(x)=1x,
que satisfaz 0<1/x<1. Logo usamos novamente o ramo g(y)=raiz2-y. Assim, se x>1,
(gcirc f)(x)=raiz2-1x

Passo 7

Falta o ponto x=1. Em x=1 obtemos
f(1)=11=1,
e como em g o ramo para argumentos >=1 é ln(y+5), temos
(gcirc f)(1)=lnl(1+5r)=ln6

Resposta

(fcirc g)(x)= dfrac1raiz2-x,&x<1,[6pt] dfrac1ln(x+5),&x>=1, (gcirc f)(x)= raiz7-e^x,&x<1,[4pt] ln6,&x=1,[4pt] raiz2-1x,&x>1 ]

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