Verifique se a função f: A B é inversível. Caso exista, achar a função inversa f^-1.
f(x)=raiz256-2^x, A=Dom(f), B=Im(f)

Passo 1

O enunciado nos dá a função definida por
onde e . Queremos verificar se é inversível e, em caso afirmativo, encontrar . Para isso iremos: determinar resolvendo a restrição interna à raiz; achar pelo comportamento de ; checar que é injetiva; e finalmente isolar em para obter a inversa.

Passo 2

Para achar o domínio A impomos a condição de existência da raiz:
256 - 2^x >= 0
isso equivale a
2^x <= 256 = 2^8 Longrightarrow x <= 8
Logo
A = (-infty,,8]

Passo 3

Para determinar a imagem B, observamos que 2^x cresce em x, logo 256-2^x decresce e sua raiz também decresce. Em x=8 temos
f(8)=raiz256-2^8=raiz0=0,
e quando xto -infty, 2^xto0 e
f(x)toraiz256=16
sem jamais atingi-lo. Portanto
B = [0,,16)

Passo 4

Como f é estritamente decrescente em todo A, ela é injetiva. Sendo contínua e com imagem B, segue que f é bijetiva de A sobre B e, portanto, inversível.

Passo 5

Para achar f^-1, escrevemos y=f(x) e isolamos x:
y = raiz256-2^x Longrightarrow y^2 = 256 - 2^x Longrightarrow 2^x = 256 - y^2 Longrightarrow x = log2l(256 - y^2r)
Assim
f^-1(y) = log2l(256 - y^2r),
valendo para yin B=[0,16).

Resposta

A função é inversível, com

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