Verifique se a função
é inversível. Caso exista, achar a função inversa
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida por
onde e
. Queremos verificar se
é inversível e, em caso afirmativo, encontrar
. Para isso iremos: determinar
resolvendo a restrição interna à raiz; achar
pelo comportamento de
; checar que
é injetiva; e finalmente isolar
em
para obter a inversa.
Passo 2
Para achar o domínio
impomos a condição de existência da raiz:
isso equivale a
Logo
Passo 3
Para determinar a imagem
, observamos que
cresce em
, logo
decresce e sua raiz também decresce. Em
temos
e quando
,
e
sem jamais atingi-lo. Portanto
Passo 4
Como
é estritamente decrescente em todo
, ela é injetiva. Sendo contínua e com imagem
, segue que
é bijetiva de
sobre
e, portanto, inversível.
Passo 5
Para achar
, escrevemos
e isolamos
:
Assim
valendo para
.
Resposta
A função
é inversível, com