Calcule o comprimento da curva a seguir no intervalo informado. alpha(t)=(t, cos (t), sen(t)),-5 <= t <= 5

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica alpha(t)=(t,cos t,sin t) para -5<= t<=5. O conteúdo aqui é comprimento de curva em R³, e vamos precisar usar a fórmula
A teoria diz que, se alpha:[a,b]toR^3, então
L=integrala^bl|alpha'(t)r|,dt

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada componente a componente. Temos
alpha'(t)=(1,,-sin t,,cos t)
Em seguida achamos a norma dessa derivada: como ( -sin t)^2+ (cos t)^2=sin^2t+cos^2t=1, vem
l|alpha'(t)r|=raiz1+sin^2t+cos^2t=raiz1+1=raiz2

Passo 3

Agora que a norma é constante, a integral fica bem simples. Aplicamos a fórmula do comprimento:
L=integral-5^5raiz2,dt=raiz2,(5-(-5))=10raiz2

Resposta

10raiz2

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