Determine as seguintes integrais:
integral0^2 x d x(x+1)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^2 x,dx(x+1)^2
Esse problema envolve técnicas de cálculo de integrais por substituição e decomposição de frações.

Passo 2

Vamos usar a substituição
u = x + 1
Então
x = u - 1, dx = du
Quando x varia de 0 a 2, u varia de 1 a 3.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral0^2 x,dx(x+1)^2 = integralu=1^3 u-1u^2,du
Agora decompondo o integrando:
u-1u^2 = uu^2 - 1u^2 = 1u - u^-2

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral(1u - u^-2)du = integral1udu - integral u^-2du = ln|u| + 1u + C

Passo 5

Aplicando os limites de 1 a 3 na primitiva
l[ln u + 1ur]1^3 = l(ln 3 + tfrac13r) - l(ln 1 + 1r) = ln 3 + tfrac13 - 0 - 1 = ln 3 - tfrac23

Resposta

ln 3 - tfrac23

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