Dada a função
, determine todas as funções
, para as quais
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as primitivas de f(x)=x{2/3}−3x{1/2}+2x^{1/5}−1, ou seja, todas as funções F tais que F′(x)=f(x). O conteúdo aqui é integral de potência, e vamos usar a regra geral de primitiva para monômios: ∫x^n dx = x^{n+1}/(n+1) + C, desde que n≠−1. Observação: como há x^{1/2}, só faz sentido real para x≥0.
Passo 2
Para cada termo de f(x) aplicamos a regra da integral de potência uma a uma:
– ∫x^{2/3} dx: aqui n=2/3, então n+1=5/3 e a primitiva é x^{5/3}/(5/3)= (3/5)x^{5/3}.
– ∫(−3x^{1/2}) dx: podemos tirar o −3 constante e usar n=1/2, n+1=3/2, então fica −3·(x{3/2}/(3/2))=−3·(2/3)x{3/2}=−2x^{3/2}.
– ∫(2x^{1/5}) dx: tiramos o 2, com n=1/5 e n+1=6/5, vem 2·(x{6/5}/(6/5))=2·(5/6)x{6/5}=(5/3)x^{6/5}.
– ∫(−1) dx = −x.
– ∫x^{2/3} dx: aqui n=2/3, então n+1=5/3 e a primitiva é x^{5/3}/(5/3)= (3/5)x^{5/3}.
– ∫(−3x^{1/2}) dx: podemos tirar o −3 constante e usar n=1/2, n+1=3/2, então fica −3·(x{3/2}/(3/2))=−3·(2/3)x{3/2}=−2x^{3/2}.
– ∫(2x^{1/5}) dx: tiramos o 2, com n=1/5 e n+1=6/5, vem 2·(x{6/5}/(6/5))=2·(5/6)x{6/5}=(5/3)x^{6/5}.
– ∫(−1) dx = −x.
Passo 3
Agora somamos todas as primitivas parciais e adicionamos a constante de integração C, obtendo a primitiva geral. A primitiva geral fica:
Resposta
F(x)=\frac{3}{5}x{5/3}-2x{3/2}+\frac{5}{3}x^{6/5}-x+C