Explicando essa fórmula de forma simples: imagine aproximar a curva por muitos pequenos segmentos retos; em cada pedaço a variação de posição é aproximadamente \Delta s\approx\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}. Fazendo isso infinitamente fino e passando para o limite, obtém-se a integral acima. Na fórmula, dx/dt é a derivada de x em relação a t (velocidade na direção x) e dy/dt é a derivada de y em relação a t (velocidade na direção y).
Passo 3
Calcular as derivadas \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}. Usando regras básicas de derivação (derivada de t^{n} é n t^{n-1}):
Como o intervalo de t é [0,1] (ou seja, t\ge 0), tem-se |t|=t. Logo o integrando fica
t\sqrt{1+t^{2}}.
Passo 5
Escrever a integral do comprimento com os limites:
L=\int_{0}^{1} t\sqrt{1+t^{2}}\;dt.
Para calcular essa integral, usamos a substituição simples u=1+t^{2}. Então du=2t\,dt, ou seja t\,dt=\dfrac{du}{2}. Também trocamos os limites: quando t=0 temos u=1; quando t=1 temos u=2.