Calcule o comprimento da curva.
x=1+\frac{1}{2} t^{2}, \quad y=-1+\frac{1}{3} t^{3}, \quad 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado fornece as curvas paramétricas e o intervalo do parâmetro:
  • x=1+\dfrac{1}{2}t^{2},
  • y=-1+\dfrac{1}{3}t^{3},
  • para 0\le t\le 1.
O que se pede: calcular o comprimento da curva determinada por essas equações no intervalo dado de t.

Passo 2

Para uma curva dada por x=x(t) e y=y(t) com t variando em [a,b], o comprimento L é dado pela fórmula
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\;dt.
Explicando essa fórmula de forma simples: imagine aproximar a curva por muitos pequenos segmentos retos; em cada pedaço a variação de posição é aproximadamente \Delta s\approx\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}. Fazendo isso infinitamente fino e passando para o limite, obtém-se a integral acima. Na fórmula, dx/dt é a derivada de x em relação a t (velocidade na direção x) e dy/dt é a derivada de y em relação a t (velocidade na direção y).

Passo 3

Calcular as derivadas \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}. Usando regras básicas de derivação (derivada de t^{n} é n t^{n-1}):
  • Para x(t)=1+\dfrac{1}{2}t^{2} temos
\frac{dx}{dt}= \frac{d}{dt}\!\left(1+\frac{1}{2}t^{2}\right)=t.
Detalhe: a constante 1 some na derivada e a derivada de \tfrac{1}{2}t^{2} é \tfrac{1}{2}\cdot 2t=t.
  • Para y(t)=-1+\dfrac{1}{3}t^{3} temos
\frac{dy}{dt}= \frac{d}{dt}\!\left(-1+\frac{1}{3}t^{3}\right)=t^{2}.
Detalhe: a constante -1 some e a derivada de \tfrac{1}{3}t^{3} é \tfrac{1}{3}\cdot 3 t^{2}=t^{2}.

Passo 4

Substituir as derivadas na fórmula do comprimento:
\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}} = \sqrt{t^{2}+t^{4}}.
Fatorando t^{2} dentro da raiz:
\sqrt{t^{2}+t^{4}}=\sqrt{t^{2}(1+t^{2})}=|t|\sqrt{1+t^{2}}.
Como o intervalo de t é [0,1] (ou seja, t\ge 0), tem-se |t|=t. Logo o integrando fica
t\sqrt{1+t^{2}}.

Passo 5

Escrever a integral do comprimento com os limites:
L=\int_{0}^{1} t\sqrt{1+t^{2}}\;dt.
Para calcular essa integral, usamos a substituição simples u=1+t^{2}. Então du=2t\,dt, ou seja t\,dt=\dfrac{du}{2}. Também trocamos os limites: quando t=0 temos u=1; quando t=1 temos u=2.

Passo 6

Aplicando a substituição na integral:
L=\int_{0}^{1} t\sqrt{1+t^{2}}\;dt = \frac{1}{2}\int_{u=1}^{u=2} u^{1/2}\;du.
Agora integramos u^{1/2}: a primitiva é \dfrac{u^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}u^{3/2}. Multiplicando pelo \tfrac{1}{2} que estava fora:
L=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\,u^{3/2}\Big|_{1}^{2}=\frac{1}{3}\left(u^{3/2}\Big|_{1}^{2}\right).

Passo 7

Avaliar entre os limites:
u^{3/2}\Big|_{1}^{2}=2^{3/2}-1^{3/2}=2^{3/2}-1.
Lembrando que 2^{3/2}=(\sqrt{2})^{3}=2\sqrt{2}, obtemos
L=\frac{1}{3}\big(2^{3/2}-1\big)=\frac{1}{3}\big(2\sqrt{2}-1\big).

Resposta

\dfrac{1}{3}\big(2\sqrt{2}-1\big)

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