Dois carros se movem segundo os seguintes vetores posição:
(a) Os carros se chocarão? Justifique sua resposta!
(b) Esboce as estradas sobre as quais eles se movem.
(c) As estradas se cruzam? Em quais pontos?
(d) Qual a velocidade do primeiro carro no instante
?
(b) Esboce as estradas sobre as quais eles se movem.
(c) As estradas se cruzam? Em quais pontos?
(d) Qual a velocidade do primeiro carro no instante
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados (pegos do enunciado):
-
, . -
, .
-
-
O enunciado pede:
(a) Ver se os carros se chocarão (isto é, se existetal que ).
(b) Esboçar as estradas sobre as quais cada carro se move (ou seja, as curvas no plano descritas pore , respeitando ).
(c) Ver se as estradas se cruzam e indicar os pontos de interseção (considerando os trechos realmente percorridos para).
(d) Determinar a velocidade do primeiro carro no instante(vetor velocidade e, se for útil, a rapidez).
Passo 2
Como checar colisão (ideia geral, sem resolver ainda): dois carros colidem se, para algum
, as duas componentes (a componente
e a componente
) das posições forem iguais simultaneamente. Então vamos resolver o sistema
Se não existir
que satisfaça as duas equações ao mesmo tempo, não há colisão.
Passo 3
Resolver a primeira equação para
:
Agora verificar a segunda equação no mesmo
. Calcular lado esquerdo (posição
do carro 1):
Calcular lado direito (posição
do carro 2) em
:
Comparando
com
: são números diferentes. Logo não existe
que satisfaça ambas as componentes simultaneamente.
Passo 4
Concluir sobre colisão: não há colisão porque, embora as abscissas coincidam em
, as ordenadas não coincidem nesse mesmo instante. Portanto
Passo 5
Agora vamos encontrar as equações das estradas (eliminar
para obter a forma
).
Para
: escrevendo
e
,
Substituindo em
:
Portanto a estrada do primeiro carro é a parábola
Como
e
, o trecho efetivamente percorrido corresponde a
(isto é, a “ramo direito” da parábola a partir do vértice).
Para
: escrevendo
,
Substituindo em
:
Portanto a estrada do segundo carro é a reta
Como
e
, o trecho percorrido corresponde a
(a reta a partir do ponto
para a direita).
Passo 6
Esboço das estradas (descrição para desenhar):
- A estrada do primeiro carro é uma parábola com vértice em
, abrindo para cima (coeficiente positivo ). Só se percorre a partir de para maiores. - A estrada do segundo carro é uma reta de inclinação
e intercepto em . O ponto inicial é , e a reta é percorrida para .
(Dica prática para o esboço: marcar vértice
, marcar ponto inicial do segundo carro
, traçar a parábola para a direita do vértice e a reta de inclinação
.)
Passo 7
Agora verificar interseções geométricas das estradas (ignorar momento temporal, só ver onde as curvas se cruzam no plano).
Igualando as expressões de
:
Multiplique ambos os lados por
para limpar denominadores:
Expandir
:
Resolver a quadrática (fatorando ou fórmula de Bhaskara). Fatorando:
Logo as soluções são
e
.
Calcular
em cada caso usando
:
- Para
: . Ponto . - Para
: . Ponto .
Passo 8
Verificar se esses pontos estão nas partes das curvas realmente percorridas (lembre:
).
Para o ponto
:
- No primeiro carro:
corresponde a . OK. - No segundo carro:
corresponde a . OK.
Portantoé um ponto onde as duas estradas efetivamente se cruzam (cada uma passa por ali em instantes diferentes: o segundo carro em , o primeiro em ).
Para o ponto
:
- No segundo carro:
corresponde a . O segundo carro passa por esse ponto em . - No primeiro carro:
corresponderia a , que NÃO é . Isso significa que, embora a parábola completa (extendida para negativos) passe por , o trecho da parábola percorrido para (isto é, ) não contém esse ponto.
Portantonão é um ponto de cruzamento das estradas efetivamente percorridas com .
Conclusão: as estradas (considerando os trechos percorridos para
) se cruzam no ponto
apenas.
Passo 9
Velocidade do primeiro carro no instante
. Para curvas paramétricas, a velocidade vetorial é a derivada componente a componente da posição em relação ao tempo:
Calcular as derivadas:
Logo
No instante
:
A rapidez (módulo da velocidade) é
Resposta
(a) Não.
(b) Estrada do primeiro carro: com
. Estrada do segundo carro:
com
.
(c) Sim; cruzam no ponto .
(d) e
.
(b) Estrada do primeiro carro:
(c) Sim; cruzam no ponto
(d)