Dois carros se movem segundo os seguintes vetores posição:
\sigma_{1}(t)=\left(2+t,-2+\frac{t^{2}}{2}\right) \text { e } \sigma_{2}(t)=\left(-8+7 t,-1+\frac{7}{2} t\right), \quad t \geq 0
(a) Os carros se chocarão? Justifique sua resposta!
(b) Esboce as estradas sobre as quais eles se movem.
(c) As estradas se cruzam? Em quais pontos?
(d) Qual a velocidade do primeiro carro no instante t=2 ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • \sigma_{1}(t)=\bigl(2+t,\,-2+\tfrac{t^{2}}{2}\bigr), t\ge 0.
    • \sigma_{2}(t)=\bigl(-8+7t,\,-1+\tfrac{7}{2}t\bigr), t\ge 0.
  • O enunciado pede:
    (a) Ver se os carros se chocarão (isto é, se existe t\ge 0 tal que \sigma_{1}(t)=\sigma_{2}(t)).
    (b) Esboçar as estradas sobre as quais cada carro se move (ou seja, as curvas no plano descritas por \sigma_{1} e \sigma_{2}, respeitando t\ge0).
    (c) Ver se as estradas se cruzam e indicar os pontos de interseção (considerando os trechos realmente percorridos para t\ge0).
    (d) Determinar a velocidade do primeiro carro no instante t=2 (vetor velocidade e, se for útil, a rapidez).

Passo 2

Como checar colisão (ideia geral, sem resolver ainda): dois carros colidem se, para algum t\ge 0, as duas componentes (a componente x e a componente y) das posições forem iguais simultaneamente. Então vamos resolver o sistema
2+t = -8+7t, \qquad -2+\frac{t^{2}}{2} = -1+\frac{7}{2}t, \qquad t\ge 0.
Se não existir t\ge0 que satisfaça as duas equações ao mesmo tempo, não há colisão.

Passo 3

Resolver a primeira equação para t:
2+t = -8+7t
2+8 = 7t - t
10 = 6t
t = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}.
Agora verificar a segunda equação no mesmo t=\dfrac{5}{3}. Calcular lado esquerdo (posição y do carro 1):
-2+\frac{t^{2}}{2} = -2+\frac{1}{2}\left(\frac{5}{3}\right)^{2} = -2+\frac{1}{2}\cdot\frac{25}{9} = -2+\frac{25}{18} = -\frac{36}{18}+\frac{25}{18} = -\frac{11}{18}.
Calcular lado direito (posição y do carro 2) em t=\dfrac{5}{3}:
-1+\frac{7}{2}t = -1+\frac{7}{2}\cdot\frac{5}{3} = -1+\frac{35}{6} = -\frac{6}{6}+\frac{35}{6} = \frac{29}{6}.
Comparando -\dfrac{11}{18} com \dfrac{29}{6}: são números diferentes. Logo não existe t\ge0 que satisfaça ambas as componentes simultaneamente.

Passo 4

Concluir sobre colisão: não há colisão porque, embora as abscissas coincidam em t=\dfrac{5}{3}, as ordenadas não coincidem nesse mesmo instante. Portanto
\text{os carros NÃO se chocarão.}Ãã

Passo 5

Agora vamos encontrar as equações das estradas (eliminar t para obter a forma y=f(x)).
Para \sigma_{1}: escrevendo x e y,
x = 2+t \quad\Rightarrow\quad t = x-2.
Substituindo em y:
y = -2+\frac{t^{2}}{2} = -2+\frac{(x-2)^{2}}{2}.
Portanto a estrada do primeiro carro é a parábola
y = -2+\frac{(x-2)^{2}}{2}.
Como t\ge0 e x=2+t, o trecho efetivamente percorrido corresponde a x\ge 2 (isto é, a “ramo direito” da parábola a partir do vértice).
Para \sigma_{2}: escrevendo x,
x = -8+7t \quad\Rightarrow\quad t = \frac{x+8}{7}.
Substituindo em y:
y = -1+\frac{7}{2}t = -1+\frac{7}{2}\cdot\frac{x+8}{7} = -1+\frac{x+8}{2} = \frac{x}{2}+3.
Portanto a estrada do segundo carro é a reta
y = \frac{x}{2}+3.
Como t\ge0 e x=-8+7t, o trecho percorrido corresponde a x\ge -8 (a reta a partir do ponto (-8,-1) para a direita).

Passo 6

Esboço das estradas (descrição para desenhar):
  • A estrada do primeiro carro é uma parábola com vértice em (2,-2), abrindo para cima (coeficiente positivo \tfrac{1}{2}). Só se percorre a partir de x=2 para x maiores.
  • A estrada do segundo carro é uma reta de inclinação 1/2 e intercepto em y=3. O ponto inicial t=0 é (-8,-1), e a reta é percorrida para x\ge -8.
(Dica prática para o esboço: marcar vértice (2,-2), marcar ponto inicial do segundo carro (-8,-1), traçar a parábola para a direita do vértice e a reta de inclinação 1/2.)

Passo 7

Agora verificar interseções geométricas das estradas (ignorar momento temporal, só ver onde as curvas se cruzam no plano).
Igualando as expressões de y:
-2+\frac{(x-2)^{2}}{2} = \frac{x}{2}+3.
Multiplique ambos os lados por 2 para limpar denominadores:
-4+(x-2)^{2} = x+6.
Expandir (x-2)^{2}=x^{2}-4x+4:
-4 + x^{2}-4x+4 = x+6
x^{2}-4x = x+6
x^{2}-5x-6 = 0.
Resolver a quadrática (fatorando ou fórmula de Bhaskara). Fatorando:
x^{2}-5x-6 = (x-6)(x+1)=0.
Logo as soluções são x=6 e x=-1.
Calcular y em cada caso usando y=\dfrac{x}{2}+3:
  • Para x=6: y=\dfrac{6}{2}+3=3+3=6. Ponto (6,6).
  • Para x=-1: y=\dfrac{-1}{2}+3 = -\tfrac{1}{2}+3 = \tfrac{5}{2}. Ponto \bigl(-1,\tfrac{5}{2}\bigr).

Passo 8

Verificar se esses pontos estão nas partes das curvas realmente percorridas (lembre: t\ge0).
Para o ponto (6,6):
  • No primeiro carro: x=6 corresponde a t=x-2=6-2=4\ge0. OK.
  • No segundo carro: x=6 corresponde a t=\dfrac{x+8}{7}=\dfrac{6+8}{7}=\dfrac{14}{7}=2\ge0. OK.
    Portanto (6,6) é um ponto onde as duas estradas efetivamente se cruzam (cada uma passa por ali em instantes diferentes: o segundo carro em t=2, o primeiro em t=4).
Para o ponto \bigl(-1,\tfrac{5}{2}\bigr):
  • No segundo carro: x=-1 corresponde a t=\dfrac{-1+8}{7}=\dfrac{7}{7}=1\ge0. O segundo carro passa por esse ponto em t=1.
  • No primeiro carro: x=-1 corresponderia a t=x-2=-1-2=-3, que NÃO é \ge0. Isso significa que, embora a parábola completa (extendida para t negativos) passe por (-1,\tfrac{5}{2}), o trecho da parábola percorrido para t\ge0 (isto é, x\ge2) não contém esse ponto.
    Portanto (-1,\tfrac{5}{2}) não é um ponto de cruzamento das estradas efetivamente percorridas com t\ge0.
Conclusão: as estradas (considerando os trechos percorridos para t\ge0) se cruzam no ponto (6,6) apenas.

Passo 9

Velocidade do primeiro carro no instante t. Para curvas paramétricas, a velocidade vetorial é a derivada componente a componente da posição em relação ao tempo:
\mathbf{v}_{1}(t) = \sigma_{1}'(t) = \left(\frac{d}{dt}(2+t),\; \frac{d}{dt}\Bigl(-2+\frac{t^{2}}{2}\Bigr)\right).
Calcular as derivadas:
\frac{d}{dt}(2+t)=1, \qquad \frac{d}{dt}\Bigl(-2+\frac{t^{2}}{2}\Bigr)=t.
Logo
\mathbf{v}_{1}(t) = (1,\; t).
No instante t=2:
\mathbf{v}_{1}(2) = (1,\;2).
A rapidez (módulo da velocidade) é
\|\mathbf{v}_{1}(2)\| = \sqrt{1^{2}+2^{2}} = \sqrt{5}.

Resposta

(a) Não.
(b) Estrada do primeiro carro: y=-2+\dfrac{(x-2)^{2}}{2} com x\ge 2. Estrada do segundo carro: y=\dfrac{x}{2}+3 com x\ge -8.
(c) Sim; cruzam no ponto (6,6).
(d) \mathbf{v}_{1}(2)=(1,2) e \|\mathbf{v}_{1}(2)\|=\sqrt{5}.

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