6. Aplicações aos cursos de Ciência da Computação e Engenharia de Controle e Automação:

a) O custo de execução de um algoritmo é T(n)=n^{3}-12 n^{2}+45 n+10.
b) Em algoritmos de Aprendizado de Máquina, utilizamos uma Função de Perda (Loss Function) para medir o erro de um modelo. O objetivo é ajustar os “pesos” ( w ) do modelo para que esse erro seja o menor possível. Para isso, usamos a derivada para saber em qual direção alterar w.
Considere uma função de perda simplificada:
L(w)=(w-4)^{2}+10
em que w representa o peso de um neurônio artificial.
c) Processamento de imagem: Em visão computacional, uma “borda” em uma imagem digital é definida como uma região onde ocorre uma mudança brusca na intensidade de cor ou brilho. Para detectar essas bordas, os algoritmos calculam a derivada da intensidade dos pixels: onde a derivada é máxima, a variação é mais aguda e a borda é mais nítida.
Considere que a intensidade de luz I ao longo de uma linha de pixels é modelada pela função gaussiana:
I(x)=255 \cdot e^{-x^{2}}
em que x representa a posição espacial do pixel na imagem.
d) Em sistemas de controle em malha fechada, o controlador PID utiliza o termo derivativo para prever o comportamento futuro do erro e evitar oscilações excessivas. A ação derivativa ( D ) é proporcional à taxa de variação do erro e(t) no tempo, conforme a fórmula
D(t)=K_{d} \cdot \frac{d e}{d t}
Considere que o erro de posição de um braço robótico em função do tempo é modelado por e(t)=0,5 \cdot \sin (2 t).
e) Cinemática de atuadores lineares: A automação industrial depende da precisão do movimento de atuadores. A derivada da posição em relação ao tempo nos fornece a velocidade instantânea, enquanto a derivada da velocidade nos fornece a aceleração. Suponha que a posição de um atuador linear em uma linha de montagem é dada por:
s(t)=t^{3}-6 t^{2}+9 t
onde s é medido em metros e t em segundos.
f) Circuitos elétricos: Em Engenharia Elétrica, a relação fundamental de um capacitor estabelece que a corrente i(t) que o atravessa é proporcional à taxa de variação da tensão V(t) em seus terminais:
i(t)=C \cdot \frac{d V}{d t}
sendo C a capacitância medida em Farads (F).
Considere um capacitor de C=0,002 F submetido a uma tensão alternada definida por
V(t)=100 \cdot \cos (120 \pi t)
i) Determine a taxa de variação do tempo de execução em relação ao número de dados, isto é, T^{\prime}(n).
ii) Para quais valores de n o custo computacional para de crescer momentaneamente, ou seja, onde a variação é nula?
i) Determine a derivada L^{\prime}(w). Esta derivada indica a inclinação da curva de erro para qualquer valor de w.
ii) Em qual valor de w a inclinação da reta tangente é nula \left(L^{\prime}(w)=0\right) ? O que esse ponto representa para o erro do modelo?
i) Determine a função gradiente de intensidade, calculando a derivada I^{\prime}(x).
ii) Análise de Contorno: Calcule o valor da variação de intensidade nos pontos x=-1, x=0 e x=1. Em qual desses pontos a imagem apresenta uma taxa de variação nula? O que isso significa visualmente em termos de brilho?
i. Determine a expressão da ação derivativa D(t), sabendo que a constante derivativa é K_{d}=10.
ii. Em quais instantes de tempo t \in[0, \pi] a ação derivativa será nula? O que isso indica sobre a tendência de erro do robô nesses momentos?
i. Determine as funções velocidade v(t) e aceleração a(t) do atuador.
ii. Em quais instantes t o atuador para momentaneamente para mudar de direção?
i. Determine a expressão da corrente instantânea i(t).
ii. Qual é a corrente máxima que este componente suportará?
iii. Explique, com base na derivada, por que a corrente é zero nos instantes em que a tensão atinge seus valores máximos ou mínimos.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede em cada item (peguei todas as funções do enunciado).
a) Dados:
  • Tempo/custo de execução: T(n)=n^{3}-12n^{2}+45n+10.
    Perguntas:
    i) Determine a taxa de variação \,T'(n).
    ii) Para quais valores de n a variação é nula ( T'(n)=0)?
b) Dados:
  • Função de perda: L(w)=(w-4)^{2}+10.
    Perguntas:
    i) Determine L'(w).
    ii) Em qual valor de w temos L'(w)=0? O que isso representa para o erro do modelo?
c) Dados:
  • Intensidade: I(x)=255\cdot e^{-x^{2}}.
    Perguntas:
    i) Determine I'(x).
    ii) Calcule I'(-1), I'(0), I'(1). Em qual desses pontos a taxa de variação é nula e o que isso significa visualmente?
d) Dados:
  • Erro: e(t)=0,5\cdot\sin(2t).
  • Constante derivativa: K_{d}=10.
    Perguntas:
    i) Determine D(t)=K_{d}\,\dfrac{d e}{d t}.
    ii) Para quais t\in[0,\pi] a ação derivativa é nula? O que isso indica sobre a tendência do erro nesses instantes?
e) Dados:
  • Posição do atuador: s(t)=t^{3}-6t^{2}+9t.
    Perguntas:
    i) Determine velocidade v(t)=s'(t) e aceleração a(t)=s''(t).
    ii) Em quais instantes t o atuador para momentaneamente para mudar de direção (ou seja, v(t)=0)?
f) Dados:
  • Capacitor: C=0,002\\ \text{F}.
  • Tensão: V(t)=100\cdot\cos(120\pi t).
    Perguntas:
    i) Determine i(t)=C\cdot \dfrac{dV}{dt}.
    ii) Qual é a corrente máxima (amplitude) que o componente terá?
    iii) Explique por que a corrente é zero nos instantes em que a tensão atinge máximos ou mínimos.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que usarei (rápida “aula” antes de aplicar):
  • Derivada (regra do poder): para f(x)=x^{m}, f'(x)=m x^{m-1}.
  • Derivada de soma/constante: \dfrac{d}{dx}[a\pm b]=a'\pm b'; derivada de constante é zero.
  • Derivada de função composta (regra da cadeia): se h(x)=g(u(x)), então h'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
    Vou aplicar essas regras passo a passo nos itens.

Passo 3

Item (a) — derivada do custo de execução.
i) Calcular T'(n).
Aplicando a regra do poder termo a termo:
\frac{d}{dn}[n^{3}]=3n^{2},\qquad \frac{d}{dn}[-12n^{2}]=-24n,\qquad \frac{d}{dn}[45n]=45,\qquad \frac{d}{dn}[10]=0.
Portanto,
T'(n)=3n^{2}-24n+45.
ii) Resolver T'(n)=0.
Temos a equação quadrática
3n^{2}-24n+45=0.
Dividindo tudo por 3 para simplificar:
n^{2}-8n+15=0.
Essa é fácil de fatorar: n^{2}-8n+15=(n-3)(n-5). Logo as soluções são
n=3\quad\text{e}\quad n=5.
Interpretação rápida (teste da segunda derivada): a segunda derivada é
T''(n)=6n-24.
  • Em n=3: T''(3)=6\cdot3-24=-6<0 → ponto de máximo local (a variação passa por zero mudando de positiva para negativa).
  • Em n=5: T''(5)=6\cdot5-24=6>0 → ponto de mínimo local (a variação passa por zero mudando de negativa para positiva).
    Em palavras: em n=3 o custo para de crescer momentaneamente no topo (máximo local) e em n=5 para de crescer momentaneamente num vale (mínimo local).

Passo 4

Item (b) — derivada da função de perda.
i) Calcular L'(w).
A função é uma quadrática em forma de quadrado binomial. Posso usar a regra da cadeia ou expandir; faço pela cadeia: se L(w)=(w-4)^{2}+10, então
L'(w)=2(w-4)\cdot\frac{d}{dw}(w-4)+0=2(w-4)\cdot 1=2(w-4).
ii) Encontrar w tal que L'(w)=0 e interpretar.
2(w-4)=0 \quad\Rightarrow\quad w=4.
Para saber o que esse ponto representa, calculo a segunda derivada:
L''(w)=\frac{d}{dw}[2(w-4)]=2>0,
então w=4 é um mínimo estrito (e, sendo quadrática convexa, é o mínimo global). Interpretando para aprendizado de máquina: quando w=4 o erro L(w) atinge seu valor mínimo; a derivada zero indica que ali não há tendência local de aumentar ou diminuir w para reduzir o erro — é o ponto ótimo.
Também vale calcular o valor do erro mínimo:
L(4)=(4-4)^{2}+10=10.

Passo 5

Item (c) — derivada da gaussiana e valores em pontos.
i) Calcular I'(x).
Usando regra da cadeia: I(x)=255\cdot e^{-x^{2}}. A derivada de e^{u(x)} é e^{u(x)}u'(x). Aqui u(x)=-x^{2} e u'(x)=-2x. Então
I'(x)=255\cdot e^{-x^{2}}\cdot(-2x)=-510\,x\,e^{-x^{2}}.
ii) Avaliar I'(-1), I'(0), I'(1) e interpretar.
Calculo simbólico primeiro:
I'(-1)=-510\cdot(-1)\cdot e^{-(-1)^{2}}=510\,e^{-1},
I'(0)=-510\cdot 0\cdot e^{0}=0,
I'(1)=-510\cdot 1\cdot e^{-1}=-510\,e^{-1}.
Podemos dar uma aproximação numérica usando e^{-1}\approx 0,367879\ldots:
510\,e^{-1}\approx 510\cdot 0,367879\approx 187,8.
Então numericamente:
I'(-1)\approx 187,8,\qquad I'(0)=0,\qquad I'(1)\approx -187,8.
Interpretação visual: derivada nula em x=0 significa que ali a intensidade tem um extremo (no caso da gaussiana é um máximo central) — visualmente é o ponto mais brilhante da curva e a transição de brilho muda de sentido ali; valores grandes em magnitude (como em \pm1) indicam regiões onde a intensidade varia rapidamente — bordas mais nítidas.

Passo 6

Item (d) — ação derivativa do controlador.
i) Calcular D(t).
Primeiro calculo \dfrac{de}{dt} com e(t)=0,5\sin(2t). Usando regra da cadeia (derivada de \sin(2t) é 2\cos(2t)):
\frac{de}{dt}=0,5\cdot 2\cos(2t)=1\cdot\cos(2t)=\cos(2t).
Multiplicando por K_{d}=10:
D(t)=10\cos(2t).
ii) Resolver D(t)=0 em [0,\pi] e interpretar.
10\cos(2t)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \cos(2t)=0.
Soluções gerais: 2t=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrow t=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}. No intervalo t\in[0,\pi] os valores possíveis são
t=\frac{\pi}{4}\quad\text{e}\quad t=\frac{3\pi}{4}.
Interpretação: nesses instantes a derivada do erro é zero — o erro atinge um extremo local (máximo ou mínimo) e, portanto, a ação derivativa não “prevê” variação imediata (D=0). Em termos práticos, não há tendência instantânea de aumento ou diminuição do erro nesses instantes.

Passo 7

Item (e) — velocidade e aceleração do atuador.
i) Calcular v(t)=s'(t) e a(t)=s''(t).
Derivando termo a termo:
v(t)=\frac{ds}{dt}=3t^{2}-12t+9,
a(t)=\frac{d^{2}s}{dt^{2}}=6t-12.
Podemos fatorar v(t) para ver raízes:
v(t)=3(t^{2}-4t+3)=3(t-1)(t-3).
ii) Determinar instantes em que v(t)=0.
Das fatorações:
v(t)=0\quad\Rightarrow\quad t=1\quad\text{ou}\quad t=3.
Esses são os instantes em que o atuador pára momentaneamente; a mudança de sinal de v em torno desses pontos indica inversão de direção. Para ver o tipo de mudança, olhe a aceleração:
a(1)=6\cdot1-12=-6\quad(\text{aceleração negativa em }t=1),çã
a(3)=6\cdot3-12=6\quad(\text{aceleração positiva em }t=3).çã
Ou seja, em t=1 o atuador muda de sentido com aceleração negativa; em t=3 muda com aceleração positiva.

Passo 8

Item (f) — corrente do capacitor e interpretação.
i) Calcular i(t)=C\cdot \dfrac{dV}{dt}.
Começo por derivar V(t)=100\cos(120\pi t). Derivada de \cos(u) é -\sin(u)\cdot u'. Aqui u(t)=120\pi t com u'(t)=120\pi. Então
\frac{dV}{dt}=-100\cdot\sin(120\pi t)\cdot(120\pi)=-12000\pi\sin(120\pi t).
Multiplicando por C=0,002:
i(t)=0,002\cdot(-12000\pi)\sin(120\pi t)=-24\pi\sin(120\pi t).
ii) Corrente máxima (amplitude).
A função \sin varia entre -1 e 1, então a amplitude máxima da corrente é |-24\pi|, ou seja 24\pi amperes. Em forma numérica,
24\pi\approx 24\cdot 3,14159265\approx 75,398\\ \text{A}.
Portanto a corrente máxima em módulo é 24\pi\\ \text{A} (aprox. 75,398\\ \text{A}).
iii) Por que a corrente é zero quando a tensão está em máximos ou mínimos?
Matematicamente, máximos/minimos de V(t)=100\cos(120\pi t) ocorrem quando a derivada \dfrac{dV}{dt} é zero. Como i(t) é proporcional a \dfrac{dV}{dt}, temos i(t)=0 nesses instantes. Intuitivamente: num máximo ou mínimo de tensão, a tensão para de aumentar e começa a diminuir (ou vice-versa), ou seja, sua taxa de variação instantânea é zero — então não há “fluxo” instantâneo de carga através do capacitor naquele exato instante, logo a corrente é zero.

Resposta

a.i T'(n)=3n^{2}-24n+45
a.ii n=3 e n=5 (em n=3 há máximo local; em n=5 mínimo local).
b.i L'(w)=2(w-4)
b.ii w=4 (ponto de mínimo do erro; L(4)=10).
c.i I'(x)=-510\,x\,e^{-x^{2}}
c.ii I'(-1)=510\,e^{-1}\approx 187,8,\quad I'(0)=0,\quad I'(1)=-510\,e^{-1}\approx -187,8. A derivada é nula em x=0 (extremo de intensidade — ponto mais brilhante).
d.i D(t)=10\cos(2t)
d.ii t=\dfrac{\pi}{4} e t=\dfrac{3\pi}{4} em [0,\pi] (nestes instantes a ação derivativa é zero; o erro está em um extremo local).
e.i v(t)=3t^{2}-12t+9,\qquad a(t)=6t-12
e.ii v(t)=0 em t=1 e t=3 (o atuador pára momentaneamente e pode inverter direção nesses instantes).
f.i i(t)=-24\pi\sin(120\pi t)
f.ii Corrente máxima (amplitude) =24\pi\\ \text{A}\approx 75,398\\ \text{A}.
f.iii A corrente é zero nos instantes em que a tensão atinge máximos ou mínimos porque nesses instantes \dfrac{dV}{dt}=0; como i(t)=C\,\dfrac{dV}{dt}, isso faz i(t)=0.

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