6. Aplicações aos cursos de Ciência da Computação e Engenharia de Controle e Automação:
a) O custo de execução de um algoritmo é
.
b) Em algoritmos de Aprendizado de Máquina, utilizamos uma Função de Perda (Loss Function) para medir o erro de um modelo. O objetivo é ajustar os “pesos” (
) do modelo para que esse erro seja o menor possível. Para isso, usamos a derivada para saber em qual direção alterar
.
Considere uma função de perda simplificada:
em que
representa o peso de um neurônio artificial.
c) Processamento de imagem: Em visão computacional, uma “borda” em uma imagem digital é definida como uma região onde ocorre uma mudança brusca na intensidade de cor ou brilho. Para detectar essas bordas, os algoritmos calculam a derivada da intensidade dos pixels: onde a derivada é máxima, a variação é mais aguda e a borda é mais nítida.
Considere que a intensidade de luz
ao longo de uma linha de pixels é modelada pela função gaussiana:
em que
representa a posição espacial do pixel na imagem.
d) Em sistemas de controle em malha fechada, o controlador PID utiliza o termo derivativo para prever o comportamento futuro do erro e evitar oscilações excessivas. A ação derivativa (
) é proporcional à taxa de variação do erro
no tempo, conforme a fórmula
Considere que o erro de posição de um braço robótico em função do tempo é modelado por
.
e) Cinemática de atuadores lineares: A automação industrial depende da precisão do movimento de atuadores. A derivada da posição em relação ao tempo nos fornece a velocidade instantânea, enquanto a derivada da velocidade nos fornece a aceleração. Suponha que a posição de um atuador linear em uma linha de montagem é dada por:
onde
é medido em metros e
em segundos.
f) Circuitos elétricos: Em Engenharia Elétrica, a relação fundamental de um capacitor estabelece que a corrente
que o atravessa é proporcional à taxa de variação da tensão
em seus terminais:
sendo
a capacitância medida em Farads
.
Considere um capacitor de
submetido a uma tensão alternada definida por
i) Determine a taxa de variação do tempo de execução em relação ao número de dados, isto é,
.
ii) Para quais valores de
o custo computacional para de crescer momentaneamente, ou seja, onde a variação é nula?
i) Determine a derivada
. Esta derivada indica a inclinação da curva de erro para qualquer valor de
.
ii) Em qual valor de
a inclinação da reta tangente é nula
? O que esse ponto representa para o erro do modelo?
i) Determine a função gradiente de intensidade, calculando a derivada
.
ii) Análise de Contorno: Calcule o valor da variação de intensidade nos pontos
e
. Em qual desses pontos a imagem apresenta uma taxa de variação nula? O que isso significa visualmente em termos de brilho?
i. Determine a expressão da ação derivativa
, sabendo que a constante derivativa é
.
ii. Em quais instantes de tempo
a ação derivativa será nula? O que isso indica sobre a tendência de erro do robô nesses momentos?
i. Determine as funções velocidade
e aceleração
do atuador.
ii. Em quais instantes
o atuador para momentaneamente para mudar de direção?
i. Determine a expressão da corrente instantânea
.
ii. Qual é a corrente máxima que este componente suportará?
iii. Explique, com base na derivada, por que a corrente é zero nos instantes em que a tensão atinge seus valores máximos ou mínimos.
b) Em algoritmos de Aprendizado de Máquina, utilizamos uma Função de Perda (Loss Function) para medir o erro de um modelo. O objetivo é ajustar os “pesos” (
Considere uma função de perda simplificada:
c) Processamento de imagem: Em visão computacional, uma “borda” em uma imagem digital é definida como uma região onde ocorre uma mudança brusca na intensidade de cor ou brilho. Para detectar essas bordas, os algoritmos calculam a derivada da intensidade dos pixels: onde a derivada é máxima, a variação é mais aguda e a borda é mais nítida.
Considere que a intensidade de luz
d) Em sistemas de controle em malha fechada, o controlador PID utiliza o termo derivativo para prever o comportamento futuro do erro e evitar oscilações excessivas. A ação derivativa (
e) Cinemática de atuadores lineares: A automação industrial depende da precisão do movimento de atuadores. A derivada da posição em relação ao tempo nos fornece a velocidade instantânea, enquanto a derivada da velocidade nos fornece a aceleração. Suponha que a posição de um atuador linear em uma linha de montagem é dada por:
f) Circuitos elétricos: Em Engenharia Elétrica, a relação fundamental de um capacitor estabelece que a corrente
ii) Para quais valores de
i) Determine a derivada
ii) Em qual valor de
i) Determine a função gradiente de intensidade, calculando a derivada
ii) Análise de Contorno: Calcule o valor da variação de intensidade nos pontos
i. Determine a expressão da ação derivativa
ii. Em quais instantes de tempo
i. Determine as funções velocidade
ii. Em quais instantes
i. Determine a expressão da corrente instantânea
ii. Qual é a corrente máxima que este componente suportará?
iii. Explique, com base na derivada, por que a corrente é zero nos instantes em que a tensão atinge seus valores máximos ou mínimos.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede em cada item (peguei todas as funções do enunciado).
a) Dados:
- Tempo/custo de execução:
.
Perguntas:
i) Determine a taxa de variação.
ii) Para quais valores dea variação é nula ( )?
b) Dados:
- Função de perda:
.
Perguntas:
i) Determine.
ii) Em qual valor detemos ? O que isso representa para o erro do modelo?
c) Dados:
- Intensidade:
.
Perguntas:
i) Determine.
ii) Calcule. Em qual desses pontos a taxa de variação é nula e o que isso significa visualmente?
d) Dados:
- Erro:
. - Constante derivativa:
.
Perguntas:
i) Determine.
ii) Para quaisa ação derivativa é nula? O que isso indica sobre a tendência do erro nesses instantes?
e) Dados:
- Posição do atuador:
.
Perguntas:
i) Determine velocidadee aceleração .
ii) Em quais instanteso atuador para momentaneamente para mudar de direção (ou seja, )?
f) Dados:
- Capacitor:
. - Tensão:
.
Perguntas:
i) Determine.
ii) Qual é a corrente máxima (amplitude) que o componente terá?
iii) Explique por que a corrente é zero nos instantes em que a tensão atinge máximos ou mínimos.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que usarei (rápida “aula” antes de aplicar):
- Derivada (regra do poder): para
, . - Derivada de soma/constante:
; derivada de constante é zero. - Derivada de função composta (regra da cadeia): se
, então .
Vou aplicar essas regras passo a passo nos itens.
Passo 3
Item (a) — derivada do custo de execução.
i) Calcular
.
Aplicando a regra do poder termo a termo:
Aplicando a regra do poder termo a termo:
Portanto,
ii) Resolver
.
Temos a equação quadrática
Temos a equação quadrática
Dividindo tudo por
para simplificar:
Essa é fácil de fatorar:
. Logo as soluções são
Interpretação rápida (teste da segunda derivada): a segunda derivada é
- Em
: → ponto de máximo local (a variação passa por zero mudando de positiva para negativa). - Em
: → ponto de mínimo local (a variação passa por zero mudando de negativa para positiva).
Em palavras: emo custo para de crescer momentaneamente no topo (máximo local) e em para de crescer momentaneamente num vale (mínimo local).
Passo 4
Item (b) — derivada da função de perda.
i) Calcular
.
A função é uma quadrática em forma de quadrado binomial. Posso usar a regra da cadeia ou expandir; faço pela cadeia: se , então
A função é uma quadrática em forma de quadrado binomial. Posso usar a regra da cadeia ou expandir; faço pela cadeia: se
ii) Encontrar
tal que
e interpretar.
Para saber o que esse ponto representa, calculo a segunda derivada:
então
é um mínimo estrito (e, sendo quadrática convexa, é o mínimo global). Interpretando para aprendizado de máquina: quando
o erro
atinge seu valor mínimo; a derivada zero indica que ali não há tendência local de aumentar ou diminuir
para reduzir o erro — é o ponto ótimo.
Também vale calcular o valor do erro mínimo:
Passo 5
Item (c) — derivada da gaussiana e valores em pontos.
i) Calcular
.
Usando regra da cadeia: . A derivada de
é
. Aqui
e
. Então
Usando regra da cadeia:
ii) Avaliar
e interpretar.
Calculo simbólico primeiro:
Calculo simbólico primeiro:
Podemos dar uma aproximação numérica usando
:
Então numericamente:
Interpretação visual: derivada nula em
significa que ali a intensidade tem um extremo (no caso da gaussiana é um máximo central) — visualmente é o ponto mais brilhante da curva e a transição de brilho muda de sentido ali; valores grandes em magnitude (como em
) indicam regiões onde a intensidade varia rapidamente — bordas mais nítidas.
Passo 6
Item (d) — ação derivativa do controlador.
i) Calcular
.
Primeiro calculo com
. Usando regra da cadeia (derivada de
é
):
Primeiro calculo
Multiplicando por
:
ii) Resolver
em
e interpretar.
Soluções gerais:
. No intervalo
os valores possíveis são
Interpretação: nesses instantes a derivada do erro é zero — o erro atinge um extremo local (máximo ou mínimo) e, portanto, a ação derivativa não “prevê” variação imediata (D=0). Em termos práticos, não há tendência instantânea de aumento ou diminuição do erro nesses instantes.
Passo 7
Item (e) — velocidade e aceleração do atuador.
i) Calcular
e
.
Derivando termo a termo:
Derivando termo a termo:
Podemos fatorar
para ver raízes:
ii) Determinar instantes em que
.
Das fatorações:
Das fatorações:
Esses são os instantes em que o atuador pára momentaneamente; a mudança de sinal de
em torno desses pontos indica inversão de direção. Para ver o tipo de mudança, olhe a aceleração:
Ou seja, em
o atuador muda de sentido com aceleração negativa; em
muda com aceleração positiva.
Passo 8
Item (f) — corrente do capacitor e interpretação.
i) Calcular
.
Começo por derivar . Derivada de
é
. Aqui
com
. Então
Começo por derivar
Multiplicando por
:
ii) Corrente máxima (amplitude).
A função varia entre
e
, então a amplitude máxima da corrente é
, ou seja
amperes. Em forma numérica,
A função
Portanto a corrente máxima em módulo é
(aprox.
).
iii) Por que a corrente é zero quando a tensão está em máximos ou mínimos?
Matematicamente, máximos/minimos de ocorrem quando a derivada
é zero. Como
é proporcional a
, temos
nesses instantes. Intuitivamente: num máximo ou mínimo de tensão, a tensão para de aumentar e começa a diminuir (ou vice-versa), ou seja, sua taxa de variação instantânea é zero — então não há “fluxo” instantâneo de carga através do capacitor naquele exato instante, logo a corrente é zero.
Matematicamente, máximos/minimos de
Resposta
a.i
a.ii e
(em
há máximo local; em
mínimo local).
a.ii
b.i
b.ii (ponto de mínimo do erro;
).
b.ii
c.i
c.ii . A derivada é nula em
(extremo de intensidade — ponto mais brilhante).
c.ii
d.i
d.ii e
em
(nestes instantes a ação derivativa é zero; o erro está em um extremo local).
d.ii
e.i
e.ii em
e
(o atuador pára momentaneamente e pode inverter direção nesses instantes).
e.ii
f.i
f.ii Corrente máxima (amplitude) .
f.iii A corrente é zero nos instantes em que a tensão atinge máximos ou mínimos porque nesses instantes ; como
, isso faz
.
f.ii Corrente máxima (amplitude)
f.iii A corrente é zero nos instantes em que a tensão atinge máximos ou mínimos porque nesses instantes