Calcule o comprimento da curva.
x=e^{t}+e^{-t}, \quad y=1-2 t, \quad 0 \leq t \leq 2

Passo 1

O enunciado dá a parametrização de uma curva por t:
x=e^{t}+e^{-t}, \qquad y=1-2t, \qquad 0\le t\le 2.
A pergunta é: calcular o comprimento da curva no intervalo de parâmetro t de 0 até 2.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada de forma simples). Para uma curva plana dada por x=x(t) e y=y(t), diferenciáveis, o comprimento L entre t=a e t=b é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\;dt.
Por que isso? Pense em dividir o intervalo em pedaços pequenos: em um pequeno incremento \Delta t a variação de posição tem componentes \Delta x\approx x'(t)\Delta t e \Delta y\approx y'(t)\Delta t. O comprimento desse pequeno segmento é aproximadamente \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}\approx\sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}}\;\Delta t. Somando (integrando) esses pedaços obtemos a integral acima.

Passo 3

Calcular as derivadas necessárias (passo-a-passo, lembrando deriva de exponencial).
Derivadas:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}+e^{-t}\bigr)=e^{t}-e^{-t},
pois \dfrac{d}{dt}e^{t}=e^{t} e \dfrac{d}{dt}e^{-t}=-e^{-t}.
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}(1-2t)=-2.

Passo 4

Calcular o integrando: somar os quadrados das derivadas.
\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}=(e^{t}-e^{-t})^{2}+(-2)^{2}.
Expandindo o quadrado:
(e^{t}-e^{-t})^{2}=e^{2t}-2+e^{-2t}.
Portanto
(e^{t}-e^{-t})^{2}+4=e^{2t}-2+e^{-2t}+4=e^{2t}+e^{-2t}+2.

Passo 5

Reconhecer uma identidade conveniente (explicação): note que
(e^{t}+e^{-t})^{2}=e^{2t}+2+e^{-2t}.
Comparando com o que temos em

Passo 6

e^{2t}+e^{-2t}+2=(e^{t}+e^{-t})^{2}.
Logo o integrando fica
\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}=\sqrt{(e^{t}+e^{-t})^{2}}.
Como e^{t}+e^{-t}>0 para todo t real, a raiz positiva é simplesmente
\sqrt{(e^{t}+e^{-t})^{2}}=e^{t}+e^{-t}.

Passo 7

Montar a integral do comprimento usando o resultado:
L=\int_{0}^{2}\bigl(e^{t}+e^{-t}\bigr)\;dt.
Agora integramos termo a termo. Antiderivadas básicas:
\int e^{t}\,dt=e^{t},\qquad \int e^{-t}\,dt=-e^{-t}.
Portanto uma primitiva de e^{t}+e^{-t} é e^{t}-e^{-t}.

Passo 8

Avaliar a integral definida entre 0 e 2:
L=\Bigl[e^{t}-e^{-t}\Bigr]_{0}^{2}=\bigl(e^{2}-e^{-2}\bigr)-\bigl(e^{0}-e^{0}\bigr).
Como e^{0}=1, temos \bigl(e^{0}-e^{0}\bigr)=0. Assim
L=e^{2}-e^{-2}.

Resposta

e^{2}-e^{-2}

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