Calcule o comprimento da curva.
Passo 1
O enunciado dá a parametrização de uma curva por
:
A pergunta é: calcular o comprimento da curva no intervalo de parâmetro
de
até
.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada de forma simples). Para uma curva plana dada por
e
, diferenciáveis, o comprimento
entre
e
é
Por que isso? Pense em dividir o intervalo em pedaços pequenos: em um pequeno incremento
a variação de posição tem componentes
e
. O comprimento desse pequeno segmento é aproximadamente
. Somando (integrando) esses pedaços obtemos a integral acima.
Passo 3
Calcular as derivadas necessárias (passo-a-passo, lembrando deriva de exponencial).
Derivadas:
Derivadas:
pois
e
.
Passo 4
Calcular o integrando: somar os quadrados das derivadas.
Expandindo o quadrado:
Portanto
Passo 5
Reconhecer uma identidade conveniente (explicação): note que
Comparando com o que temos em
Passo 6
Logo o integrando fica
Como
para todo
real, a raiz positiva é simplesmente
Passo 7
Montar a integral do comprimento usando o resultado:
Agora integramos termo a termo. Antiderivadas básicas:
Portanto uma primitiva de
é
.
Passo 8
Avaliar a integral definida entre
e
:
Como
, temos
. Assim