Use cortes(intersecção com planos) para esboçar e identificar as superfícies:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede que, usando cortes (interseções com planos), esbocemos e identifiquemos a superfície. Informações relevantes dadas:
- A superfície é descrita por um polinômio quadrático em
. - Não há restrições adicionais fornecidas.
O que se quer obter: a forma canônica da superfície (identificação do tipo) e como são as interseções com planos típicos (por exemplo
constante,
constante,
constante ou planos coordenados) para ajudar no esboço.
Passo 2
Primeiro vamos colocar a equação em uma forma mais clara completando o quadrado nas variáveis que aparecem com termos lineares (
e
). Vou mostrar o passo a passo de completar quadrados — é uma técnica que transforma expressões do tipo
em algo como
. Isso facilita ver o centro da superfície.
Começando pela equação original:
Agrupando termos por variável:
Agora complete o quadrado em
:
E em
fatorando
:
Substituindo estas expressões de volta:
Somando as constantes
, obtemos
Isolando a constante:
Passo 3
Para identificar a superfície, divida ambos os lados por
para obter a forma padrão:
Esta é a forma canônica de um elipsoide centrado no ponto
. Explicando as partes:
- O termo
indica um eixo semi-maior/semi-menor ao longo da direção com semi-eixo . - O termo
indica um semi-eixo ao longo de com comprimento (pois ). - O termo
indica um semi-eixo ao longo de com comprimento .
Portanto: é um elipsoide com centro em
e semi-eixos
nas direções
e
, e
na direção
.
Passo 4
Agora usemos cortes para ver as formas das interseções e facilitar o esboço.
Corte por planos horizontais
. Substituindo
na forma canônica:
que se rearranja para
Isto mostra:
- Para cada
tal que , a interseção é um círculo no plano paralelo ao plano (centro em neste plano), de raio
- Quando
(ou seja, , isto é ou ), a interseção é um ponto (círculo de raio zero). Esses são os extremos do elipsoide na direção : pontos e . - Para
não há interseção (lado de fora do elipsoide).
Corte por planos verticais
. Substituindo
:
Isto é uma elipse no plano
sempre que
; quando
é um ponto e fora disso não há interseção.
Corte por planos verticais
. Substituindo
:
Isto é também uma elipse no plano
sempre que
.
Passo 5
Pontes e interseções notáveis (úteis para esboçar):
- Centro do elipsoide:
. - Interseções com o eixo
(tomando ): . - Interseções com o eixo
(tomando ): e . - Interseções com o eixo
(tomando ): e . - Corte por
(plano que passa pelo centro): equação
ou seja, um círculo de raio
centrado em
no plano
. Esse é o “equador” do elipsoide.
- Corte por
(plano ): equação
uma elipse centrada em
com semi-eixos
em
e
em
.
Passo 6
Como esboçar na prova (passo a passo prático e rápido):
- Marque o centro em
. - Desenhe os três pontos extremos principais:
, , , , . - No plano
desenhe um círculo de raio em torno de (este é o corte central). - No plano
desenhe a elipse com semi-eixos (vertical no eixo ) e (em ). - Ligue suavemente essas elipses/círculos formando uma superfície fechada achatada ao longo do eixo
— um elipsoide com maior extensão em .
Dica final: pense no elipsoide como uma esfera de raio
esticada por um fator
na direção
e deslocada para ter centro em
. Isso ajuda a visualizar rapidamente.
Resposta
É um elipsoide centrado em
cuja equação canônica é
com semi-eixos
na direção
,
na direção
e
na direção
.