Use cortes(intersecção com planos) para esboçar e identificar as superfícies:
4 x^{2}+y^{2}+4 z^{2}-4 y-24 z+36=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
4x^{2}+y^{2}+4z^{2}-4y-24z+36=0
e pede que, usando cortes (interseções com planos), esbocemos e identifiquemos a superfície. Informações relevantes dadas:
  • A superfície é descrita por um polinômio quadrático em x,y,z.
  • Não há restrições adicionais fornecidas.
O que se quer obter: a forma canônica da superfície (identificação do tipo) e como são as interseções com planos típicos (por exemplo y= constante, x= constante, z= constante ou planos coordenados) para ajudar no esboço.

Passo 2

Primeiro vamos colocar a equação em uma forma mais clara completando o quadrado nas variáveis que aparecem com termos lineares ( y e z). Vou mostrar o passo a passo de completar quadrados — é uma técnica que transforma expressões do tipo ay^{2}+by em algo como a(y-h)^{2}+ \text{constante}. Isso facilita ver o centro da superfície.
Começando pela equação original:
4x^{2}+y^{2}+4z^{2}-4y-24z+36=0.
Agrupando termos por variável:
4x^{2} + \bigl(y^{2}-4y\bigr) + \bigl(4z^{2}-24z\bigr) +36 = 0.
Agora complete o quadrado em y:
y^{2}-4y = (y-2)^{2}-4.
E em z fatorando 4:
4z^{2}-24z = 4\bigl(z^{2}-6z\bigr) = 4\bigl((z-3)^{2}-9\bigr) = 4(z-3)^{2}-36.
Substituindo estas expressões de volta:
4x^{2} + \bigl((y-2)^{2}-4\bigr) + \bigl(4(z-3)^{2}-36\bigr) +36 = 0.
Somando as constantes -4-36+36=-4, obtemos
4x^{2} + (y-2)^{2} + 4(z-3)^{2} -4 = 0.
Isolando a constante:
4x^{2} + (y-2)^{2} + 4(z-3)^{2} = 4.

Passo 3

Para identificar a superfície, divida ambos os lados por 4 para obter a forma padrão:
x^{2} + \frac{(y-2)^{2}}{4} + (z-3)^{2} = 1.
Esta é a forma canônica de um elipsoide centrado no ponto (0,2,3). Explicando as partes:
  • O termo \,x^{2}\, indica um eixo semi-maior/semi-menor ao longo da direção x com semi-eixo \,a=1.
  • O termo \,\dfrac{(y-2)^{2}}{4}\, indica um semi-eixo ao longo de y com comprimento \,b=2 (pois 4=2^{2}).
  • O termo \,(z-3)^{2}\, indica um semi-eixo ao longo de z com comprimento \,c=1.
Portanto: é um elipsoide com centro em (0,2,3) e semi-eixos \,1 nas direções x e z, e \,2 na direção y.

Passo 4

Agora usemos cortes para ver as formas das interseções e facilitar o esboço.
Corte por planos horizontais y=y_{0}. Substituindo y=y_{0} na forma canônica:
x^{2} + \frac{(y_{0}-2)^{2}}{4} + (z-3)^{2} = 1
que se rearranja para
x^{2} + (z-3)^{2} = 1 - \frac{(y_{0}-2)^{2}}{4}.
Isto mostra:
  • Para cada y_{0} tal que \,1 - \dfrac{(y_{0}-2)^{2}}{4} > 0, a interseção é um círculo no plano paralelo ao plano xz (centro em (0,3) neste plano), de raio
r(y_{0}) = \sqrt{1 - \frac{(y_{0}-2)^{2}}{4}}.
  • Quando \,1 - \dfrac{(y_{0}-2)^{2}}{4}=0 (ou seja, |y_{0}-2|=2, isto é y_{0}=0 ou y_{0}=4), a interseção é um ponto (círculo de raio zero). Esses são os extremos do elipsoide na direção y: pontos (0,0,3) e (0,4,3).
  • Para |y_{0}-2|>2 não há interseção (lado de fora do elipsoide).
Corte por planos verticais x=x_{0}. Substituindo x=x_{0}:
\frac{(y-2)^{2}}{4} + (z-3)^{2} = 1 - x_{0}^{2}.
Isto é uma elipse no plano yz sempre que |x_{0}|\le 1; quando |x_{0}|=1 é um ponto e fora disso não há interseção.
Corte por planos verticais z=z_{0}. Substituindo z=z_{0}:
x^{2} + \frac{(y-2)^{2}}{4} = 1 - (z_{0}-3)^{2}.
Isto é também uma elipse no plano xy sempre que |z_{0}-3|\le 1.

Passo 5

Pontes e interseções notáveis (úteis para esboçar):
  • Centro do elipsoide: (0,2,3).
  • Interseções com o eixo x (tomando y=2,z=3): (\pm 1,\,2,\,3).
  • Interseções com o eixo y (tomando x=0,z=3): (0,\,0,\,3) e (0,\,4,\,3).
  • Interseções com o eixo z (tomando x=0,y=2): (0,\,2,\,2) e (0,\,2,\,4).
  • Corte por y=2 (plano que passa pelo centro): equação
x^{2} + (z-3)^{2} = 1,
ou seja, um círculo de raio 1 centrado em (0,3) no plano y=2. Esse é o “equador” do elipsoide.
  • Corte por x=0 (plano yz): equação
\frac{(y-2)^{2}}{4} + (z-3)^{2} = 1,
uma elipse centrada em (y,z)=(2,3) com semi-eixos 2 em y e 1 em z.

Passo 6

Como esboçar na prova (passo a passo prático e rápido):
  1. Marque o centro em (0,2,3).
  2. Desenhe os três pontos extremos principais: (\pm1,2,3), (0,0,3), (0,4,3), (0,2,2), (0,2,4).
  3. No plano y=2 desenhe um círculo de raio 1 em torno de (0,3) (este é o corte central).
  4. No plano x=0 desenhe a elipse com semi-eixos 2 (vertical no eixo y) e 1 (em z).
  5. Ligue suavemente essas elipses/círculos formando uma superfície fechada achatada ao longo do eixo y — um elipsoide com maior extensão em y.
Dica final: pense no elipsoide como uma esfera de raio 1 esticada por um fator 2 na direção y e deslocada para ter centro em (0,2,3). Isso ajuda a visualizar rapidamente.

Resposta

É um elipsoide centrado em (0,2,3) cuja equação canônica é x^{2}+\frac{(y-2)^{2}}{4}+(z-3)^{2}=1,
com semi-eixos a=1 na direção x, b=2 na direção y e c=1 na direção z.

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