Calcule o comprimento das curvas dadas no intervalo dado.
y=(x2)^2+12 x^2, 1 <= x <= 4.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva
y=(x2)^2+12x^2, 1<= x<=4,
usando o conteúdo de comprimento de curva no plano, cuja fórmula geral é
L=integrala^braiz1+l(y'(x)r)^2;dx

Passo 2

Calculamos a derivada ,y'(x):
y(x)=x^24+12x^2 Longrightarrow y'(x)=x2-1x^3

Passo 3

Substituímos em
L=integral1^4raiz1+l(y'(x)r)^2;dx =integral1^4raiz1+l(x2-1x^3r)^2;dx
O radicando não se reduz a quadrado perfeito, então não há primitiva elementar simples.

Passo 4

Para obter um valor numérico, aplicamos, por exemplo, a regra de Simpson com partição uniforme em [1,4]. Avaliando
f(x)=raiz1+l(x2-1x^3r)^2
em pontos equiespaçados e somando conforme Simpson, chega-se a
Lapprox4,69

Resposta

Lapprox4,69 unidades de comprimento.

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