(2, 0 pontos): Represente graficamente a região R limitada por y=4-x^2, e pelas retas x=1 e y=1 do primeiro quadrante. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno do eixo y :
(a) através do método das fatias;
(b) através do método das cascas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região R do primeiro quadrante limitada por
y = 4 - x^2, x = 1, y = 1
Vamos primeiro identificar os vértices dessa região, depois usar:
– método das fatias (discos/aros) em função de y;
– método das cascas cilíndricas em função de x.

Passo 2

Intersecções fundamentais:
y=4-x^2 com y=1 x^2=3, logo ponto l(raiz3,1r).
– na reta x=1, a parábola vale y=4-1^2=3, ponto (1,3).
– a reta x=1 e y=1 se encontram em (1,1).
A região é fechada pelos arcos (1,3)to(raiz3,1) sobre a parábola, pelo segmento (raiz3,1)to(1,1) em y=1 e por (1,1)to(1,3) em x=1.

Passo 3

Método das fatias (washers):
Usamos fatias horizontais a cada yin[1,3]. Ao girar em torno de y, uma fatia gera um anel de raio externo
R(y)=raiz4-y,
e raio interno
r(y)=1
A área de cada anel é
A(y)=pil[R(y)^2 - r(y)^2r] =pil[(4-y)-1r] =pi(3-y)
Logo o volume é
V =integraly=1^3A(y),dy =piintegral1^3(3-y),dy
Calculando:
integral1^3(3-y),dy =l[3y-tfracy^22r]1^3 =l(9-tfrac92r)-l(3-tfrac12r) =tfrac92-tfrac52 =2,
logo
V=picdot 2 =2pi

Passo 4

Método das cascas cilíndricas:
Usamos fatias verticais a cada x de 1 até raiz3. Cada casca tem raio x, altura
h(x)=(4-x^2)-1=3-x^2,
e espessura dx. O volume é
V =2piintegralx=1^raiz3x,h(x),dx =2piintegral1^raiz3x,(3-x^2),dx
Calculando:
integral1^raiz3(3x - x^3),dx =l[tfrac3x^22-tfracx^44r]1^raiz3 =l(tfrac92-tfrac94r) -l(tfrac32-tfrac14r) =1,
portanto
V=2picdot1=2pi

Resposta

O volume do sólido gerado é 2pi (unidades cúbicas) tanto pelo método das fatias quanto pelo método das cascas cilíndricas.

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