(2, 0 pontos): Represente graficamente a região
limitada por
, e pelas retas
e
do primeiro quadrante. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região
em torno do eixo
:
(a) através do método das fatias;
(b) através do método das cascas cilíndricas.
(a) através do método das fatias;
(b) através do método das cascas cilíndricas.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região
do primeiro quadrante limitada por
Vamos primeiro identificar os vértices dessa região, depois usar:
– método das fatias (discos/aros) em função de ;
– método das cascas cilíndricas em função de .
– método das fatias (discos/aros) em função de
– método das cascas cilíndricas em função de
Passo 2
Intersecções fundamentais:
– com
dá
, logo ponto
.
– na reta , a parábola vale
, ponto
.
– a reta e
se encontram em
.
A região é fechada pelos arcos sobre a parábola, pelo segmento
em
e por
em
.
–
– na reta
– a reta
A região é fechada pelos arcos
Passo 3
Método das fatias (washers):
Usamos fatias horizontais a cada . Ao girar em torno de
, uma fatia gera um anel de raio externo
Usamos fatias horizontais a cada
e raio interno
A área de cada anel é
Logo o volume é
Calculando:
logo
Passo 4
Método das cascas cilíndricas:
Usamos fatias verticais a cada de
até
. Cada casca tem raio
, altura
Usamos fatias verticais a cada
e espessura
. O volume é
Calculando:
portanto
Resposta
O volume do sólido gerado é
(unidades cúbicas) tanto pelo método das fatias quanto pelo método das cascas cilíndricas.