(1, 0 pontos): Calcule lim h 0 1h integral1^1+h e^x^2 d x. Dica: Use o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limh to 0 1h integral1^1+h e^x^2 ,dx
O conteúdo principal aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo na forma que relaciona derivada de uma integral com o próprio integrando.

Passo 2

Definimos a função
F(x) = integral1^x e^t^2 ,dt
Como e^t^2 é contínua em todo R, sabemos que F é diferenciável e
F'(x) = e^x^2
pela parte do Teorema Fundamental que diz que a derivada de integrala^x f(t),dt é f(x).

Passo 3

Repare que
1hintegral1^1+h e^x^2,dx = F(1+h)-F(1)h,
e portanto
limh to 0 1hintegral1^1+h e^x^2,dx = limh to 0 F(1+h)-F(1)h = F'(1)

Passo 4

Como F'(x)=e^x^2, temos
F'(1)=e^1^2=e

Resposta

e

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