Calcule o comprimento das curvas
, onde
.
Resp.
.
Resp.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva
para
. O conteúdo aqui é comprimento de curva em
e vamos usar a fórmula
precisando primeiramente calcular a derivada e sua norma.
Passo 2
Calculamos a derivada componente a componente:
e, pela definição de norma em
,
Passo 3
Montamos então a integral do comprimento:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição que transforme
num termo do tipo
.
Passo 4
Fazemos a troca de variável
de modo que quando
temos
e quando
temos
. Então
Passo 5
Usamos a primitiva conhecida:
Avaliando de
a
e simplificando, obtemos exatamente o valor indicado.
Passo 6
Após a avaliação e simplificação do resultado da primitiva, obtemos a expressão final abaixo.