Calcule o comprimento das curvas gamma(t)=(t, 3 t^22, 3 t^22), onde 0 <= t <= 2.
Resp. raiz73+ln (raiz73+6 raiz2)6 raiz2.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva gamma(t)=(t,tfrac3t^22,tfrac3t^22) para 0<= t<=2. O conteúdo aqui é comprimento de curva em R^3 e vamos usar a fórmula
L=integrala^b|gamma'(t)|,dt
precisando primeiramente calcular a derivada e sua norma.

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
gamma'(t)=l(1,3t,3tr)
e, pela definição de norma em R^3,
|gamma'(t)|=raiz1^2+(3t)^2+(3t)^2=raiz1+18t^2

Passo 3

Montamos então a integral do comprimento:
L=integral0^2raiz1+18t^2,dt
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição que transforme 1+18t^2 num termo do tipo 1+x^2.

Passo 4

Fazemos a troca de variável
x=3raiz2,t, dt=dx3raiz2,
de modo que quando t=0 temos x=0 e quando t=2 temos x=6raiz2. Então
L=13raiz2integral0^6raiz2raiz1+x^2,dx

Passo 5

Usamos a primitiva conhecida:
integralraiz1+x^2,dx=x2raiz1+x^2+12lnl(x+raiz1+x^2r)
Avaliando de 0 a 6raiz2 e simplificando, obtemos exatamente o valor indicado.

Passo 6

Após a avaliação e simplificação do resultado da primitiva, obtemos a expressão final abaixo.

Resposta

L=raiz73+lnl(raiz73+6raiz2r)6raiz2.

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