Nos Problemas 31-34 encontre uma solução explícita do problema de valor inicial. Determine o intervalo exato de definiçăo
por métodos analificos. Use um software gráfico para gerar o gráfico da solução.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI dado por
ou seja, é uma EDO de variáveis separáveis. Vamos usar separação de variáveis e integração para achar a solução explícita.
Passo 2
Separamos as variáveis escrevendo
Agora integramos ambos os lados:
No lado esquerdo temos
e no direito
Igualando e juntando constantes obtemos
Passo 3
Aplicamos a condição inicial
:
No lado esquerdo dá ,
no direito em temos
. Logo
No lado esquerdo dá
no direito em
Assim a forma implícita é
Passo 4
Para explicitar
, reconhecemos uma equação quadrática em
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
$$y=\frac{2\pm\sqrt{4+4(x3+2x2+2x+3)}}{2}
=1\pm\sqrt{x3+2x2+2x+4}.
y(x)=1-\sqrt{x3+2x2+2x+4}.$$
Passo 5
Para achar o intervalo de definição, note que dentro da raiz precisamos de
Fatorando
Passo 6
Por fim, usando um software de plotagem (por exemplo GeoGebra ou Python/matplotlib) podemos traçar o gráfico de
no intervalo ((-2,5]) ou outro de interesse para visualizar o comportamento da solução.
Resposta
Solução explícita: y(x)=1−√(x³+2x²+2x+4). Intervalo de definição exato: I=(−2,∞).