Nos Problemas 31-34 encontre uma solução explícita do problema de valor inicial. Determine o intervalo exato de definiçăo I por métodos analificos. Use um software gráfico para gerar o gráfico da solução.
(2 y-2) d yd x=3 x^2+4 x+2, y(1)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI dado por
(2y-2)dydx=3x^2+4x+2, y(1)=-2,
ou seja, é uma EDO de variáveis separáveis. Vamos usar separação de variáveis e integração para achar a solução explícita.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
2(y-1),dy=(3x^2+4x+2),dx
Agora integramos ambos os lados:
integral2(y-1),dy=integral(3x^2+4x+2),dx
No lado esquerdo temos
integral2y-2,dy=y^2-2y+C1,
e no direito
integral(3x^2+4x+2),dx=x^3+2x^2+2x+C2
Igualando e juntando constantes obtemos
y^2-2y=x^3+2x^2+2x+C

Passo 3

Aplicamos a condição inicial y(1)=-2:
No lado esquerdo dá (-2)^2-2(-2)=4+4=8,
no direito em x=1 temos 1+2+2+C=5+C. Logo
8=5+Cimplies C=3
Assim a forma implícita é
y^2-2y=x^3+2x^2+2x+3

Passo 4

Para explicitar y, reconhecemos uma equação quadrática em y:
y^2-2y-(x^3+2x^2+2x+3)=0
Usando a fórmula de Bhaskara:
$$y=\frac{2\pm\sqrt{4+4(x3+2x2+2x+3)}}{2}
=1\pm\sqrt{x3+2x2+2x+4}. y=2pmraiz4+4(x^3+2x^2+2x+3)2 =1pmraizx^3+2x^2+2x+4y(x)=1-\sqrt{x3+2x2+2x+4}.$$

Passo 5

Para achar o intervalo de definição, note que dentro da raiz precisamos de
x^3+2x^2+2x+4>0
Fatorando x^3+2x^2+2x+4=(x+2)(x^2+2) e sabendo que x^2+2>0 sempre, concluímos que a expressão é positiva quando x>-2. Além disso, em x=-2 a raiz seria zero, dando y=1 e anulando o fator 2(y-1) na EDO (singularidade). Logo o intervalo maximal contendo x=1 é
I=(-2,infty)

Passo 6

Por fim, usando um software de plotagem (por exemplo GeoGebra ou Python/matplotlib) podemos traçar o gráfico de
y(x)=1-raizx^3+2x^2+2x+4
no intervalo ((-2,5]) ou outro de interesse para visualizar o comportamento da solução.

Resposta

Solução explícita: y(x)=1−√(x³+2x²+2x+4). Intervalo de definição exato: I=(−2,∞).

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