Calcule f^prime(x) para as funções f abaixo: f(x)=4 x-x^4(x^3+2)^100

Passo 1

Neste exercício vamos derivar a função
$$
f(x)=\frac{4x - x4}{(x3+2)^{100}}$$
O conteúdo é derivação de quociente (ou, equivalentemente, produto com potência negativa) e vamos precisar da regra do produto, da regra da cadeia e da derivada de potências.

Passo 2

Reescrevemos a função como produto de duas funções:
u(x)=4x - x^4, v(x)=(x^3+2)^-100
Aplicaremos a regra do produto:
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
Para u(x)=4x - x^4 temos
u'(x)=4 - 4x^3
Para v(x)=(x^3+2)^-100 usamos a regra da cadeia com g(z)=z^-100 e h(x)=x^3+2. Então
g'(z)=-100z^-101, h'(x)=3x^2
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v'(x)=g'(h(x))cdot h'(x)=-100(x^3+2)^-101cdot3x^2=-300x^2(x^3+2)^-101

Passo 4

Substituímos na regra do produto:
f'(x)=(4 - 4x^3)(x^3+2)^-100+(4x - x^4)(-300x^2)(x^3+2)^-101

Passo 5

Colocamos o mesmo denominador (x^3+2)^101 em ambas as parcelas:
f'(x)=(4 - 4x^3)(x^3+2) - 300x^2(4x - x^4)(x^3+2)^101

Passo 6

Agora expandimos e combinamos termos no numerador:
(4 - 4x^3)(x^3+2)= -4x^6 -4x^3+8,
-300x^2(4x - x^4)= -1200x^3+300x^6,
somando:
296x^6-1204x^3+8=4(74x^6-301x^3+2)
Portanto, a derivada simplificada fica na forma final abaixo.

Resposta

f'(x)=4l(74x^6-301x^3+2r)(x^3+2)^101

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