Calcule o comprimento das curvas
(a) gamma(t)=(a(t-sen t), a(1-cos t)), onde 0 <= t <= 2 pi e a>0.
Resp. 8 a.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento da curva paramétrica gamma(t)=(a(t-sin t),,a(1-cos t)) no intervalo 0<= t<=2pi. Vamos usar o conceito de comprimento de curva: se gamma(t) é suave, então
L=integral0^2pillVertgamma'(t)rrVert,dt

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de gamma(t):
gamma'(t)=l(a(1-cos t),,asin tr)

Passo 3

Em seguida determinamos a norma de gamma'(t):
llVertgamma'(t)rrVert = araiz(1-cos t)^2+(sin t)^2 = araiz2-2cos t = araiz2cdot2sin^2l(tfrac t2r) =2allvertsintfrac t2rrvert
Como 0<= t<=2pi implica 0<= t/2<=pi e aí sin(t/2)>=0, podemos escrever
llVertgamma'(t)rrVert=2asintfrac t2

Passo 4

Agora basta integrar:
L=integral0^2pi2asintfrac t2,dt
Fazendo a substituição u=tfrac t2, dt=2,du, os limites vão de u=0 a u=pi:
L=2aintegral0^2pisintfrac t2,dt =2acdot2integral0^pisin u,du =4al[-cos ur]0^pi =4al(-(-1)+1r) =8a

Resposta

8a

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