Calcule integralgamma F cdot d r, onde F(x, y, z)=(x^2+y) i-7 y z j+2 x z^2 k e gamma é a curva ligando o ponto (0,0,0) a (1,1,1) nos seguintes casos: gamma(t)=(t, t^2, t^3).
Resp. -1115.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralgamma vec Fcdot dvec r onde
vec F(x,y,z)=(x^2+y),vec i-7yz,vec j+2xz^2,vec k e a curva é dada por gamma(t)=(t,,t^2,,t^3), 0<= t<=1. Vamos usar a definição de integral de linha de um campo vetorial num caminho paramétrico.

Passo 2

Começamos encontrando o vetor velocidade da curva, ou seja, a derivada de gamma(t). Temos
gamma'(t)=l(1,,2t,,3t^2r)

Passo 3

Substituímos a parametrização em vec F para obter vec F(gamma(t)). Calculando cada componente:
x=t, y=t^2, z=t^3
portanto
P= x^2+y = t^2 + t^2 = 2t^2,
Q=-7yz = -7,t^2,t^3 = -7t^5,
R=2xz^2 = 2,t,(t^3)^2 = 2t^7
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vec F(gamma(t)) = l(2t^2,,-7t^5,,2t^7r)

Passo 4

Agora calculamos o produto escalar vec F(gamma(t))cdotgamma'(t):
vec F(gamma(t))cdotgamma'(t) = (2t^2)cdot1 + (-7t^5)cdot(2t) + (2t^7)cdot(3t^2) = 2t^2 -14t^6 +6t^9

Passo 5

Por fim, a integral de linha é
integralgammavec Fcdot dvec r = integral0^1 l(2t^2 -14t^6 +6t^9r),dt
Calculamos termo a termo:
integral0^1 2t^2,dt = tfrac23,
integral0^1 (-14t^6),dt = -14 cdot tfrac17 = -2,
integral0^1 6t^9,dt = 6 cdot tfrac110 = tfrac35
Somando:
tfrac23 -2 + tfrac35 = tfrac10 -30 +915 = -tfrac1115

Resposta

-\u200b\tfrac{11}{15}

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