Determine os pontos críticos da função
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Passo 1
O enunciado pede pra achar os pontos críticos de f(x)=x^2−5x+4, ou seja, o conteúdo é cálculo de derivadas e identificação de pontos onde f′(x)=0 ou f′(x) não existe. Vamos precisar da definição de derivada de polinômio e da condição f′(x)=0.
Passo 2
Calculamos a derivada usando a regra de potência: para f(x)=x^2−5x+4, temos f′(x)=2x−5.
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, igualamos f′(x) a zero: 2x−5=0. Daí vem x=5/2.
Passo 4
Como f′(x) é um polinômio (sempre definido), não há pontos onde a derivada deixe de existir. Então o único ponto crítico ocorre em x=5/2.
Passo 5
Se quisermos o ponto no plano, calculamos f(5/2):
Inserindo na função:
f(5/2) = (5/2)^2 − 5·(5/2) + 4 = 25/4 − 25/2 + 4 = 25/4 − 50/4 + 16/4 = −9/4
Inserindo na função:
f(5/2) = (5/2)^2 − 5·(5/2) + 4 = 25/4 − 25/2 + 4 = 25/4 − 50/4 + 16/4 = −9/4
Resposta
O único ponto crítico é x=5/2, correspondendo ao ponto (5/2, −9/4).