Determine os pontos críticos da função f(x) = x^2 - 5x + 4.

Passo 1

O enunciado pede pra achar os pontos críticos de f(x)=x^2−5x+4, ou seja, o conteúdo é cálculo de derivadas e identificação de pontos onde f′(x)=0 ou f′(x) não existe. Vamos precisar da definição de derivada de polinômio e da condição f′(x)=0.

Passo 2

Calculamos a derivada usando a regra de potência: para f(x)=x^2−5x+4, temos f′(x)=2x−5.

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, igualamos f′(x) a zero: 2x−5=0. Daí vem x=5/2.

Passo 4

Como f′(x) é um polinômio (sempre definido), não há pontos onde a derivada deixe de existir. Então o único ponto crítico ocorre em x=5/2.

Passo 5

Se quisermos o ponto no plano, calculamos f(5/2):
Inserindo na função:
f(5/2) = (5/2)^2 − 5·(5/2) + 4 = 25/4 − 25/2 + 4 = 25/4 − 50/4 + 16/4 = −9/4

Resposta

O único ponto crítico é x=5/2, correspondendo ao ponto (5/2, −9/4).

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