Calcule o comprimento das curvas
gamma(theta)=(r(theta-sin (theta)), r(1-cos (theta))), theta in[0,2 pi]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento da curva parametrizada por γ(θ) = (r(θ − sin θ), r(1 − cos θ)) em θ∈[0,2π]. O conteúdo é comprimento de curva em forma paramétrica e vamos precisar usar a fórmula do arc-length, derivar as componentes e integrar o módulo da velocidade.

Passo 2

Para começar, extraímos as componentes x(θ) e y(θ) e calculamos suas derivadas: x(θ)=r(θ−sin θ) e y(θ)=r(1−cos θ). Então temos x′(θ)=r(1−cos θ) e y′(θ)=r sin θ.

Passo 3

Aplicamos a fórmula do comprimento de curva:
L=integral0^2piraizl(x'(theta)r)^2+l(y'(theta)r)^2,dtheta Substituindo as derivadas, o integrando vira
raizl(r(1−costheta)r)^2+l(rsinthetar)^2 = rraiz(1−costheta)^2+sin^2theta

Passo 4

Usamos identidade trigonométrica para simplificar:
(1−costheta)^2+sin^2theta = 2−2costheta = 4sin^2l(tfractheta2r) Logo o integrando fica
rraiz4sin^2(tfractheta2) = 2r,l|sin(tfractheta2)r| Como θ∈[0,2π] temos sin(θ/2)≥0, então o valor absoluto cai.

Passo 5

Restou calcular
L = integral0^2pi2rsinl(tfractheta2r),dtheta = 2r integral0^2pisinl(tfractheta2r),dtheta Fazendo a substituição u=θ/2 (ou direto a integral), obtemos
integral0^2pisinl(tfractheta2r)dtheta = l[-2cos(tfractheta2)r]0^2pi = 4 Portanto L = 2r·4 = 8r.

Passo 6

Chegamos ao comprimento total da curva para um arco de 0 a 2π.

Resposta

8r

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