Calcule o comprimento das curvas
Passo 1
O enunciado pede para calcular o comprimento da curva parametrizada por γ(θ) = (r(θ − sin θ), r(1 − cos θ)) em θ∈[0,2π]. O conteúdo é comprimento de curva em forma paramétrica e vamos precisar usar a fórmula do arc-length, derivar as componentes e integrar o módulo da velocidade.
Passo 2
Para começar, extraímos as componentes x(θ) e y(θ) e calculamos suas derivadas: x(θ)=r(θ−sin θ) e y(θ)=r(1−cos θ). Então temos x′(θ)=r(1−cos θ) e y′(θ)=r sin θ.
Passo 3
Aplicamos a fórmula do comprimento de curva:
Passo 4
Usamos identidade trigonométrica para simplificar:
Passo 5
Restou calcular
Passo 6
Chegamos ao comprimento total da curva para um arco de 0 a 2π.
Resposta
8r