Sejam os vetores não nulos u, v, w in R^3 e escalares alpha, beta in R. Mostre que
|u times v|^2+lang<= u, vrang<=^2=|u|^2|v|^2

Passo 1

O enunciado pede para provar que para quaisquer vetores não nulos u,vin R^3 vale
|utimes v|^2 + lang<= u,vrang<=^2 = |u|^2,|v|^2
Este é um exercício de produto escalar e produto vetorial em relação ao ângulo entre vetores.

Passo 2

Seja theta o ângulo formado entre u e v. Pelas definições geométricas do produto escalar e do produto vetorial, temos:
lang<= u,vrang<= = |u|,|v|costheta
e
|utimes v| = |u|,|v|sintheta

Passo 3

Elevando ao quadrado ambas as expressões e somando, obtemos
lang<= u,vrang<=^2 + |utimes v|^2 = (|u|,|v|costheta)^2 + (|u|,|v|sintheta)^2
ou seja
lang<= u,vrang<=^2 + |utimes v|^2 = |u|^2,|v|^2(cos^2theta + sin^2theta)

Passo 4

Como cos^2theta + sin^2theta = 1, concluímos que
lang<= u,vrang<=^2 + |utimes v|^2 = |u|^2,|v|^2

Passo 5

Portanto a identidade pedida está demonstrada.

Resposta

|utimes v|^2 + lang<= u,vrang<=^2 = |u|^2,|v|^2

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