Sejam os vetores não nulos u, v, w in R^3 e escalares alpha, beta in R. Mostre que
u times(alpha v)=(alpha u) times v=alpha(u times v)

Passo 1

Oi! Vamos resolver o exercício que envolve vetores e produtos vetoriais. O problema pede para mostrar que ao multiplicar um vetor por um escalar antes de fazer o produto vetorial, é o mesmo que multiplicar o resultado do produto vetorial por esse escalar. Ou seja, precisamos provar que:
u times (alpha v) = (alpha u) times v = alpha (u times v)
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente propriedades do produto vetorial e da multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores a times b = i & j & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 e em é outro vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais e tem magnitude igual à área do paralelogramo formado por e . A fórmula do produto vetorial é:
Além disso, a multiplicação por escalar significa que cada componente do vetor é multiplicado pelo escalar.

Passo 3

Vamos começar mostrando que alpha v = (alpha v1, alpha v2, alpha v3) . Multiplicar o vetor u times (alpha v) = i & j & k u1 & u2 & u3 alpha v1 & alpha v2 & alpha v3 por um escalar u times (alpha v) = alpha (u times v) significa multiplicar cada uma de suas componentes por :
Agora, fazemos o produto vetorial de com :
Ao calcular o determinante, verificamos que cada termo do produto vetorial será multiplicado por :

Passo 4

Agora, vamos mostrar que alpha u = (alpha u1, alpha u2, alpha u3) . Da mesma forma, multiplicar (alpha u) times v = i & j & k alpha u1 & alpha u2 & alpha u3 v1 & v2 & v3 por (alpha u) times v = alpha (u times v) :
Calculando o produto vetorial:
Novamente, cada termo será multiplicado por :

Resposta

Portanto, mostramos que:
u times (alpha v) = (alpha u) times v = alpha (u times v)

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