Sejam os vetores não nulos e escalares . Mostre que
Passo 1
Oi! Vamos resolver o exercício que envolve vetores e produtos vetoriais. O problema pede para mostrar que ao multiplicar um vetor por um escalar antes de fazer o produto vetorial, é o mesmo que multiplicar o resultado do produto vetorial por esse escalar. Ou seja, precisamos provar que:
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente propriedades do produto vetorial e da multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores e em é outro vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais e tem magnitude igual à área do paralelogramo formado por e . A fórmula do produto vetorial é:
Além disso, a multiplicação por escalar significa que cada componente do vetor é multiplicado pelo escalar.
Passo 3
Vamos começar mostrando que alpha v = (alpha v1, alpha v2, alpha v3) . Multiplicar o vetor u times (alpha v) = i & j & k u1 & u2 & u3 alpha v1 & alpha v2 & alpha v3 por um escalar u times (alpha v) = alpha (u times v) significa multiplicar cada uma de suas componentes por :
Agora, fazemos o produto vetorial de com :
Ao calcular o determinante, verificamos que cada termo do produto vetorial será multiplicado por :
Passo 4
Agora, vamos mostrar que alpha u = (alpha u1, alpha u2, alpha u3) . Da mesma forma, multiplicar (alpha u) times v = i & j & k alpha u1 & alpha u2 & alpha u3 v1 & v2 & v3 por (alpha u) times v = alpha (u times v) :
Calculando o produto vetorial:
Novamente, cada termo será multiplicado por :
Resposta
Portanto, mostramos que:
u times (alpha v) = (alpha u) times v = alpha (u times v)