Considere em R^3, duas curvas diferenciáveis, u(t) e v(t) com t in R, satisfazendo as equações diferenciais
u^prime(t)=a u(t)+b v(t), v^prime(t)=c u(t)+d v(t), a, b, c, d in R
Encontre condições em a, b, c, d para que a curva u(t) times v(t) seja constante.

Passo 1

A gente tem duas curvas diferenciáveis u(t) e v(t) em R^3 satisfazendo o sistema
a,b,c,d
u(t)times v(t)
Queremos achar condições em para que seja constante. Vamos usar cálculo vetorial: derivada de produto vetorial e propriedades da cruz.

Passo 2

Para vetores u(t) e v(t), vale a regra
ddt[u(t)times v(t)] =u'(t)times v(t)+u(t)times v'(t)
Essa é a nossa ferramenta principal.

Passo 3

Substituindo as expressões de u'(t) e v'(t) do sistema e expandindo, obtemos
ddt[utimes v] =(a,u+b,v)times v +utimes(c,u+d,v) =a,(utimes v)+b,(vtimes v) + c,(utimes u)+d,(utimes v)
Como utimes u=0 e vtimes v=0, isso simplifica para
ddt[utimes v]=(a+d),(utimes v)

Passo 4

Para que u(t)times v(t) seja de fato constante precisamos que ddt[utimes v]=0 para todo t. Assim
(a+d),(u(t)times v(t))=0
Para uma condição genérica não-trivial (ou seja, não assumir utimes vequiv0 desde o início) exige-se

Resposta

a + d = 0

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