Considere em
, duas curvas diferenciáveis,
e
com
, satisfazendo as equações diferenciais
Encontre condições em a, b, c, d para que a curva
seja constante.
Passo 1
A gente tem duas curvas diferenciáveis
e
em
satisfazendo o sistema
Queremos achar condições em para que
seja constante. Vamos usar cálculo vetorial: derivada de produto vetorial e propriedades da cruz.
Queremos achar condições em
Passo 2
Para vetores
e
, vale a regra
Essa é a nossa ferramenta principal.
Passo 3
Substituindo as expressões de
e
do sistema e expandindo, obtemos
Como
e
, isso simplifica para
Passo 4
Para que
seja de fato constante precisamos que
para todo
. Assim
Para uma condição genérica não-trivial (ou seja, não assumir
desde o início) exige-se
Resposta
a + d = 0