Calcule o comprimento da curvas no intervalo descrito
\alpha(t)=\left(\frac{1}{1+t}, \ln (1+t)\right) em [0,2]

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica \alpha(t)=\bigl(\tfrac{1}{1+t},\;\ln(1+t)\bigr) em t\in[0,2].
O conteúdo é comprimento de curva paramétrica em \Bbb R^2, onde usamos a fórmula
L=\int_{a}^{b}\bigl\|\alpha'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Primeiro encontramos a derivada \alpha'(t) e a velocidade \|\alpha'(t)\|.
\alpha'(t) =\Bigl(-\tfrac{1}{(1+t)^2},\;\tfrac{1}{1+t}\Bigr).
A norma é
\|\alpha'(t)\| =\sqrt{\Bigl(-\tfrac{1}{(1+t)^2}\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{1}{1+t}\Bigr)^2} =\frac{\sqrt{1+(1+t)^2}}{(1+t)^2}.
Logo
L=\int_{0}^{2}\frac{\sqrt{1+(1+t)^2}}{(1+t)^2}\,dt.

Passo 3

Fazemos a substituição u=1+t, de modo que du=dt, e quando t=0 vem u=1, quando t=2 vem u=3. Assim
L=\int_{u=1}^{3}\frac{\sqrt{1+u^2}}{u^2}\,du.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int\frac{\sqrt{1+u^2}}{u^2}\,du
usamos integração por partes. Seja
w=\sqrt{1+u^2},\quad dv=\frac{1}{u^2}\,du
então
dw=\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}\,du,\quad v=-\frac{1}{u}.
Aplicando partes:
\int\frac{\sqrt{1+u^2}}{u^2}\,du =-\frac{\sqrt{1+u^2}}{u} +\int\frac{1}{u}\cdot\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}\,du =-\frac{\sqrt{1+u^2}}{u} +\int\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\,du.
E sabemos que \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\,du=\operatorname{arsinh}(u) =\ln\bigl(u+\sqrt{1+u^2}\bigr).
Portanto um antiderivado é
F(u)=-\frac{\sqrt{1+u^2}}{u}+\ln\bigl(u+\sqrt{1+u^2}\bigr).

Passo 5

Avaliando nos limites u=1 e u=3:
L =F(3)-F(1) =\Bigl[-\frac{\sqrt{1+3^2}}{3}+\ln\bigl(3+\sqrt{10}\bigr)\Bigr] -\Bigl[-\frac{\sqrt{1+1^2}}{1}+\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)\Bigr].
L =-\frac{\sqrt{10}}{3}+\ln\bigl(3+\sqrt{10}\bigr) +\sqrt{2}-\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr).

Resposta

L =\sqrt{2}-\frac{\sqrt{10}}{3} +\ln\!\frac{3+\sqrt{10}}{1+\sqrt{2}}.

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