Considere a curva chamada de hipociclóide e parametrizada por
\alpha(t)=\left(a \cos ^{3}(t), b \sin ^{3}(t)\right)
\operatorname{com} a, b \in \mathbb{R} e 0 \leq t \leq 2 \pi.
a) Encontre o vetor tangente \alpha^{\prime}(t).
b) Encontre o comprimento de \alpha no intervalo \left[0, \frac{\pi}{2}\right].
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
\alpha(t)=\bigl(a\cos^3(t),\,b\sin^3(t)\bigr),
com a,b\in\mathbb{R} e pede:
O vetor tangente \alpha'(t).
O comprimento de arco de t=0 a t=\tfrac\pi2.
Para (a) vamos diferenciar componente a componente; para (b) usamos a fórmula