Considere a curva chamada de hipociclóide e parametrizada por
\alpha(t)=\left(a \cos ^{3}(t), b \sin ^{3}(t)\right)
\operatorname{com} a, b \in \mathbb{R} e 0 \leq t \leq 2 \pi.
a) Encontre o vetor tangente \alpha^{\prime}(t).
b) Encontre o comprimento de \alpha no intervalo \left[0, \frac{\pi}{2}\right].

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\alpha(t)=\bigl(a\cos^3(t),\,b\sin^3(t)\bigr),
com a,b\in\mathbb{R} e pede:
  1. O vetor tangente \alpha'(t).
  2. O comprimento de arco de t=0 a t=\tfrac\pi2.
    Para (a) vamos diferenciar componente a componente; para (b) usamos a fórmula
L=\int_{t_0}^{t_1}\bigl\|\alpha'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Derivando cada componente de \alpha(t):
  • Para x(t)=a\cos^3(t),
x'(t)=a\cdot3\cos^2(t)\cdot\bigl(-\sin(t)\bigr)=-3a\cos^2(t)\,\sin(t).
  • Para y(t)=b\sin^3(t),
y'(t)=b\cdot3\sin^2(t)\,\cos(t)=3b\sin^2(t)\,\cos(t).
Logo,
\alpha'(t)=\bigl(-3a\cos^2(t)\sin(t),\;3b\sin^2(t)\cos(t)\bigr).

Passo 3

Pela fórmula do comprimento de arco,
L=\int_{0}^{\frac\pi2}\bigl\|\alpha'(t)\bigr\|\,dt =\int_{0}^{\frac\pi2}\sqrt{\bigl(-3a\cos^2t\sin t\bigr)^2+\bigl(3b\sin^2t\cos t\bigr)^2}\;dt.
Isso dá
\|\alpha'(t)\| =3\sqrt{a^2\cos^4t\,\sin^2t \;+\;b^2\sin^4t\,\cos^2t} =3\sin t\cos t\;\sqrt{a^2\cos^2t + b^2\sin^2t},
pois em [0,\tfrac\pi2] temos \sin t,\cos t\ge0. Assim
L=3\int_{0}^{\frac\pi2}\sin t\cos t\,\sqrt{a^2\cos^2t + b^2\sin^2t}\;dt.

Passo 4

Fazemos a substituição
u=\sin^2t,\quad du=2\sin t\cos t\,dt,
variando de u(0)=0 até u(\tfrac\pi2)=1. Então
L =3\int_{0}^{1}\frac12\sqrt{a^2(1-u)+b^2u}\;du =\frac32\int_{0}^{1}\sqrt{a^2+(b^2-a^2)\,u}\;du.
Chame c=b^2-a^2. Temos
\int_{0}^{1}\sqrt{a^2+cu}\;du =\left[\frac{2}{3c}(a^2+cu)^{3/2}\right]_{0}^{1} =\frac{2}{3c}\bigl((a^2+c)^{3/2}- (a^2)^{3/2}\bigr).

Passo 5

Voltando em c=b^2-a^2, a^2+c=b^2, e assumindo a,b>0 para simplificar:
L =\frac32\cdot\frac{2}{3(b^2-a^2)}\bigl(b^3-a^3\bigr) =\frac{b^3-a^3}{b^2-a^2} =\frac{b^2+ab+a^2}{b+a}.

Resposta

a) \displaystyle \alpha'(t)=\bigl(-3a\cos^2(t)\sin(t),\;3b\sin^2(t)\cos(t)\bigr).
b) \displaystyle L=\frac{b^2+ab+a^2}{\,a+b\,}.

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