Para cada item, encontre a parametrização das curvas poligonais
a) Segmento de reta que liga (1,0) e (2,3).
b) O segmento de reta que liga (1,0) e (2,3) unido com o segmento de reta que liga os pontos (2,3) a (-1,-2).

Passo 1

O enunciado pede parametrizar curvas poligonais: no item (a) um único segmento de reta e, em (b), a união de dois segmentos. Vamos usar interpolação linear entre dois pontos para obter essas parametrizações.

Passo 2

Para parametrizar o segmento de reta que liga P=(x_0,y_0) a Q=(x_1,y_1), usamos
\mathbf r(t) = (1-t)\,P + t\,Q,
com t\in[0,1]. Isso garante \mathbf r(0)=P e \mathbf r(1)=Q.

Passo 3

No item (a) temos P=(1,0) e Q=(2,3). Aplicando a fórmula,
\mathbf r(t) = (1-t)(1,0) + t\,(2,3), \quad 0 \le t \le 1.
Em coordenadas:
x(t) = 1 + t, \quad y(t) = 3t, \quad t\in[0,1].

Passo 4

No item (b) unimos o segmento de P=(1,0)\) a \(Q=(2,3)\) com o de \(Q\) a \(R=(-1,-2)\). Definimos um único parâmetro \(t\in[0,2]\) e fazemos \[\mathbf r(t) = \begin{cases} (1-t)(1,0) + t\,(2,3), & 0 \le t \le 1,\\\ (2,3) + (t-1)\bigl((-1,-2)-(2,3)\bigr), & 1 \le t \le 2. \end{cases}
Como ((-1,-2)-(2,3)=(-3,-5)], fica
\mathbf r(t) = \begin{cases} (1-t)(1,0) + t\,(2,3), & 0 \le t \le 1,\\\ (2,3) + (t-1)(-3,-5), & 1 \le t \le 2. \end{cases}

Resposta

a) \displaystyle \mathbf r(t) = (1-t)(1,0) + t\,(2,3),\;t\in[0,1].\) b) \(\displaystyle \mathbf r(t) = \begin{cases} (1-t)(1,0) + t\,(2,3), & 0 \le t \le 1,\\\ (2,3) + (t-1)(-3,-5), & 1 \le t \le 2. \end{cases}

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