Considere as matrizes:
A=\left[\begin{array}{rr} -1 & 2 \\\\ 3 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr} 4 & -1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right], C=\left[\begin{array}{lll} 3 & 1 & 5 \\\\ 1 & 4 & 2 \end{array}\right], D=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 5 & 2 \\\\ 3 & 2 & 4 \\\\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right], E=\left[\begin{array}{rrr} -1 & 1 & 2 \\\\ 6 & 1 & 3 \\\\ 4 & 1 & 3 \end{array}\right]
Quando possível, calcule o que se pede:
(a) 4 E-2 D

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes D e E (entre outras) e pede, quando possível, calcular
4E-2D.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As matrizes dadas são
D=\begin{pmatrix} 1 & 5 & 2\\[4pt] 3 & 2 & 4\\[4pt] -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad E=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2\\[4pt] 6 & 1 & 3\\[4pt] 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
  • Ambas são matrizes de ordem 3\times3. Logo a operação linear \,4E-2D, é bem definida (os termos têm a mesma dimensão), portanto é possível calcular o que se pede.]

Passo 2

Vamos relembrar as regras que usamos (aula rápida e amigável):
  • Multiplicação de uma matriz por um escalar: se k é um número e A=(a_{ij}) é uma matriz, então kA é a matriz cujos elementos são (kA)_{ij}=k\cdot a_{ij}. Ou seja, multiplica-se cada entrada da matriz por k.
  • Subtração de matrizes: se A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}) têm a mesma dimensão, então A-B é a matriz cujos elementos são (A-B)_{ij}=a_{ij}-b_{ij}. Faz-se a operação entrada a entrada.
  • Aplicando isso em sequência: primeiro calculamos 4E (multiplicando cada elemento de E por 4), depois calculamos 2D (cada elemento de D por 2), e por fim fazemos a subtração 4E-2D entrada a entrada.

Passo 3

Calcular 4E multiplicando cada entrada de E por 4:
4E = 4\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2\\[4pt] 6 & 1 & 3\\[4pt] 4 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\cdot(-1) & 4\cdot 1 & 4\cdot 2\\[4pt] 4\cdot 6 & 4\cdot 1 & 4\cdot 3\\[4pt] 4\cdot 4 & 4\cdot 1 & 4\cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 4 & 8\\[4pt] 24 & 4 & 12\\[4pt] 16 & 4 & 12 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular 2D multiplicando cada entrada de D por 2:
2D = 2\begin{pmatrix} 1 & 5 & 2\\[4pt] 3 & 2 & 4\\[4pt] -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot 1 & 2\cdot 5 & 2\cdot 2\\[4pt] 2\cdot 3 & 2\cdot 2 & 2\cdot 4\\[4pt] 2\cdot(-1) & 2\cdot 0 & 2\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 10 & 4\\[4pt] 6 & 4 & 8\\[4pt] -2 & 0 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Subtrair 2D de 4E entrada a entrada. Vou mostrar linha a linha as subtrações:
  • Primeira linha: (-4)-2 = -6,\qquad 4-10=-6,\qquad 8-4=4.
  • Segunda linha: 24-6=18,\qquad 4-4=0,\qquad 12-8=4.
  • Terceira linha: 16-(-2)=18,\qquad 4-0=4,\qquad 12-2=10.
Portanto as entradas resultantes, linha a linha, são as que acabamos de calcular.

Resposta

4E-2D=\begin{pmatrix} -6 & -6 & 4\\[4pt] 18 & 0 & 4\\[4pt] 18 & 4 & 10 \end{pmatrix}]

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