Calcule o comprimento do gráfico da função dada.
f(x)=x^{\frac{2}{3}}, 1 \leq x \leq 8.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco do gráfico de
f(x)=x^{\tfrac{2}{3}},\quad 1\le x\le8.
O conteúdo utilizado será a fórmula de comprimento de curva em coordenadas cartesianas:
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Calcular a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{\tfrac{2}{3}}\bigr) =\frac{2}{3}\,x^{-\tfrac{1}{3}}.
Logo,
\bigl(f'(x)\bigr)^{2} =\frac{4}{9}\,x^{-\tfrac{2}{3}} \quad\Longrightarrow\quad 1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2} =1+\frac{4}{9}x^{-\tfrac{2}{3}} =\frac{9x^{\tfrac{2}{3}}+4}{9x^{\tfrac{2}{3}}}.
Portanto,
\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}} =\frac{\sqrt{9x^{\tfrac{2}{3}}+4}}{3\,x^{\tfrac{1}{3}}}.

Passo 3

Escrever o integral do comprimento:
L=\int_{1}^{8}\frac{\sqrt{9x^{\tfrac{2}{3}}+4}}{3\,x^{\tfrac{1}{3}}}\;dx.

Passo 4

Fazer a substituição x=t^{3}, de onde dx=3t^{2}dt, e quando x=1 tem t=1; quando x=8 tem t=2. Além disso x^{\tfrac{2}{3}}=t^{2} e x^{\tfrac{1}{3}}=t. Assim
L =\int_{t=1}^{2}\frac{\sqrt{9t^{2}+4}}{3\,t}\,(3t^{2}dt) =\int_{1}^{2}t\,\sqrt{9t^{2}+4}\;dt.

Passo 5

Para calcular \displaystyle\int t\sqrt{9t^{2}+4}\,dt use u=9t^{2}+4, logo du=18t\,dt e t\,dt=\tfrac{1}{18}du. Obtemos
\int t\sqrt{9t^{2}+4}\,dt =\frac{1}{18}\int u^{\tfrac12}du =\frac{1}{18}\cdot\frac{2}{3}\,u^{\tfrac{3}{2}} =\frac{1}{27}\,u^{\tfrac{3}{2}}.
Voltando a t,
L =\left[\frac{1}{27}\bigl(9t^{2}+4\bigr)^{\tfrac{3}{2}}\right]_{1}^{2} =\frac{1}{27}\Bigl[(9\cdot4+4)^{\tfrac{3}{2}}-(9\cdot1+4)^{\tfrac{3}{2}}\Bigr].

Resposta

L=\frac{1}{27}\bigl(40^{\tfrac{3}{2}}-13^{\tfrac{3}{2}}\bigr) =\frac{80\sqrt{10}-13\sqrt{13}}{27}.

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