Calcule as integrais:
a) \int \frac{\left(x^{3}-4 x-10\right) d x}{x^{2}-x-6}

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função racional
\int \frac{x^{3}-4x-10}{x^{2}-x-6}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções racionais. Vamos usar divisão de polinômios para separar a parte inteira e, em seguida, decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fazemos a divisão de x^{3}-4x-10 por x^{2}-x-6:
\frac{x^{3}-4x-10}{x^{2}-x-6} = x+1 + \frac{3x-4}{x^{2}-x-6}.
Logo,
\int \frac{x^{3}-4x-10}{x^{2}-x-6}\,dx = \int (x+1)\,dx + \int \frac{3x-4}{x^{2}-x-6}\,dx.

Passo 3

Observamos que
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2),
então escrevemos
\frac{3x-4}{(x-3)(x+2)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+2}.
Igualando numeradores:
3x-4 = A(x+2) + B(x-3) = (A+B)x + (2A-3B).
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A+B = 3,\\\\ 2A - 3B = -4, \end{cases}
resolve-se A=1 e B=2. Assim,
\frac{3x-4}{x^{2}-x-6} = \frac{1}{x-3} + \frac{2}{x+2}.

Passo 4

Substituindo na integral:
\int (x+1)\,dx + \int \Bigl(\frac{1}{x-3} + \frac{2}{x+2}\Bigr)\,dx.
Calculamos cada parte:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\quad \int 1\,dx = x,\quad \int \frac{1}{x-3}\,dx = \ln\bigl|x-3\bigr|,\quad \int \frac{2}{x+2}\,dx = 2\ln\bigl|x+2\bigr|.

Resposta

\frac{x^{2}}{2} + x + \ln\bigl|x-3\bigr| + 2\ln\bigl|x+2\bigr| + C.

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