Calcule o comprimento de onda de de Broglie ( nm ) para um elétron ( \mathrm{m}_{\mathrm{e}}=9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} ) viajando a 1,00 \% da velocidade da luz.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de onda de de Broglie, em nanómetros, para um elétron que viaja a 1{,}00\% da velocidade da luz.
Dados fornecidos:
\mathrm{m}_e = 9,11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg} (massa do elétron)
velocidade do elétron: v = 1{,}00\%\\ \text{da luz} = 0{,}010\,\mathrm{c}
Não foram fornecidos outros valores, então vou usar as constantes usuais: velocidade da luz \mathrm{c}=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e constante de Planck \mathrm{h}=6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.

Passo 2

Apresentando a fórmula que vamos usar: a relação de de Broglie diz que o comprimento de onda \lambda associado a uma partícula é
\lambda=\frac{\mathrm{h}}{p},
onde \mathrm{h} é a constante de Planck e p é o momento linear da partícula. Aqui precisamos entender o que é cada coisa:
\mathrm{h} é uma constante com unidades de \mathrm{J\cdot s}.
p é o momento linear; para velocidades não-relativísticas p é dado por p=m v, com m massa e v velocidade (unidades: \mathrm{kg\cdot m/s}).
Vou verificar se podemos usar a forma clássica p=m v (não-relativística) checando o fator relativístico.

Passo 3

Calculo da velocidade numérica do elétron:
v = 0{,}010\cdot \mathrm{c} = 0{,}010\cdot 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} = 3{,}00\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Verificação rápida da necessidade de correção relativística: o fator de Lorentz é
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(v/\mathrm{c})^{2}}}.
Como v/\mathrm{c}=0{,}010, temos (v/\mathrm{c})^{2}=1{,}0\times10^{-4} e
\gamma\approx\frac{1}{\sqrt{1-1{,}0\times10^{-4}}}\approx 1{,}00005.
Esse desvio é ínfimo, portanto a aproximação clássica p=m v é perfeitamente adequada aqui.

Passo 5

Calcular o momento linear usando p=m v:
p = \mathrm{m}_e\,v = (9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg})\cdot(3{,}00\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}) = 2{,}733\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 6

Agora aplicamos a relação de de Broglie:
\lambda = \frac{\mathrm{h}}{p} = \frac{6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}}{2{,}733\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}}.
Note que 1\\ \mathrm{J}=1\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s^{2}}, então as unidades ficam \mathrm{m}, como esperado. Calculando o quociente:
\lambda \approx 2{,}425\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Converter metros para nanómetros: 1\\ \mathrm{nm}=1\times10^{-9}\\ \mathrm{m}. Assim
\lambda = 2{,}425\times10^{-10}\\ \mathrm{m} = 0{,}2425\\ \mathrm{nm}.
Arredondando com três algarismos significativos (compatível com os dados dados), obtemos \lambda\approx0{,}242\\ \mathrm{nm}.

Resposta

0,242\\ \mathrm{nm}

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