Suponha que para localizar um elétron usa-se luz com comprimento de onda \lambda_{\text {fóton }}=500 \mathrm{~nm}ó. Se a incerteza na posição do elétron seja aproximadamente \Delta \mathrm{x} \approx \lambda_{\text {fóton }}ó, calcule a incerteza mínima na velocidade \Delta v(\mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}) do elétron usando o princípio de incerteza de Heisenberg.
\Delta x \Delta p \gtrsim \frac{\hbar}{2}
\hbar=1,055 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só: localizar um elétron usando luz de comprimento de onda \lambda_{\text{fóton}}=500\\ \mathrm{nm}ó. Assume-se que a incerteza na posição do elétron é aproximadamente
\Delta x \approx \lambda_{\text{fóton}}.ó
Também é fornecido o valor de \hbar:
\hbar = 1{,}055\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
A pergunta: calcular a incerteza mínima na velocidade \Delta v do elétron, em \mathrm{m/s}, usando o princípio da incerteza de Heisenberg.

Passo 2

Vamos recordar a fórmula do princípio da incerteza usada aqui. O princípio de Heisenberg para posição e momento diz:
\Delta x\,\Delta p \gtrsim \frac{\hbar}{2},
onde \Delta x é a incerteza na posição (em metros) e \Delta p é a incerteza no momento linear (em \mathrm{kg\cdot m/s}). Para partículas não-relativísticas o momento é p = m v, logo a incerteza no momento relaciona-se com a incerteza na velocidade por
\Delta p \approx m\,\Delta v,
onde m é a massa da partícula (para o elétron usaremos m_e). Assim, podemos combinar as duas fórmulas para obter uma expressão para \Delta v.

Passo 3

Isolando \Delta v na desigualdade, substituindo \Delta p \approx m_e \Delta v, obtemos:
\Delta x\,(m_e\,\Delta v) \gtrsim \frac{\hbar}{2}
e portanto
\Delta v \gtrsim \frac{\hbar}{2\,m_e\,\Delta x}.
Aqui:
  • \hbar já foi dado,
  • m_e é a massa do elétron; usaremos o valor padrão aproximado m_e = 9{,}11\times 10^{-31}\\ \mathrm{kg},
  • \Delta x tomamos como \Delta x = \lambda_{\text{fóton}} = 500\\ \mathrm{nm}ó. Agora convertemos \lambda para metros:
500\\ \mathrm{nm} = 500\times 10^{-9}\\ \mathrm{m} = 5{,}00\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Agora substituímos os números na fórmula
\Delta v \gtrsim \frac{\hbar}{2\,m_e\,\Delta x}.
Substituindo valores numéricos:
\Delta v \gtrsim \frac{1{,}055\times 10^{-34}}{2 \times (9{,}11\times 10^{-31}) \times (5{,}00\times 10^{-7})}\\ \mathrm{m/s}.
Calculemos o denominador passo a passo:
2\times 9{,}11\times 10^{-31} = 1{,}822\times 10^{-30},
1{,}822\times 10^{-30}\times 5{,}00\times 10^{-7} = 9{,}11\times 10^{-37}.
Agora a divisão:
\Delta v \gtrsim \frac{1{,}055\times 10^{-34}}{9{,}11\times 10^{-37}} = \frac{1{,}055}{9{,}11}\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
\frac{1{,}055}{9{,}11}\approx 0{,}1158,
portanto
\Delta v \gtrsim 0{,}1158\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s} \approx 1{,}16\times 10^{2}\\ \mathrm{m/s}.
Observação rápida: usamos a aproximação não-relativística p=m_e v; o resultado \Delta v\sim 10^{2}\\ \mathrm{m/s} é muito menor que a velocidade da luz, então essa aproximação é consistente.

Passo 5

Interpretação final (motivacional): isso significa que, ao localizar o elétron com luz de \lambda=500\\ \mathrm{nm}, a incerteza mínima na velocidade do elétron é da ordem de algumas centenas de metros por segundo — não é gigante, mas também não é desprezível. Lembre-se: quanto menor for \Delta x (isto é, quanto melhor você tentar localizar a partícula), maior será a incerteza em sua velocidade. Vai dar certo na prova — você já entendeu a ideia e os passos!

Resposta

1{,}16\times 10^{2}\\ \mathrm{m/s}

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