Calcule o comprimento de onda de um fóton necessário para excitar a transição entre níveis de energia vizinhos de um oscilador harmônico com massa efetiva igual a do próton (
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de onda de um fóton que faz a transição entre níveis de energia vizinhos num oscilador harmônico. Isso está ligado à física quântica, especificamente aos níveis de energia de um oscilador harmônico quântico. Para isso, vamos precisar usar a fórmula dos níveis de energia do oscilador harmônico e a relação entre energia e comprimento de onda do fóton.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são os níveis de energia de um oscilador harmônico quântico. A energia dos níveis é dada por:
Aqui,
é o número do nível (0, 1, 2, …),
é a constante de Planck reduzida, e
é a frequência angular do oscilador.
Passo 3
Como queremos a transição entre níveis vizinhos, a diferença de energia entre dois níveis consecutivos (
e
) é:
Então, a energia do fóton necessário para essa transição é igual a
.
Passo 4
Agora, precisamos relacionar essa energia com o comprimento de onda do fóton. A energia de um fóton está ligada ao seu comprimento de onda pela equação:
Onde:
-
é a energia do fóton, -
é a constante de Planck, -
é a velocidade da luz, -
é o comprimento de onda.
Passo 5
Igualando as duas expressões para a energia do fóton:
Queremos encontrar
, então vamos isolar essa variável:
Passo 6
Sabemos que
(a frequência angular) está relacionada à massa efetiva
e à constante elástica
do oscilador pela fórmula:
Mas, aqui, não temos
. Porém, vamos continuar com o que temos.
Passo 7
Vamos lembrar que
, então podemos substituir na equação de
:
Passo 8
Agora, precisamos relacionar
com a energia do oscilador. No entanto, para prosseguir, precisamos de mais informações ou suposições sobre a constante elástica
. Como não temos
, vamos assumir que queremos expressar
em termos de
:
Passo 9
Para avançar com os cálculos numéricos, precisaríamos do valor de
. Se considerarmos que a energia do nível fundamental (
) é
, mas sem mais dados, não podemos calcular
numericamente. Acho que o exercício pode ter requerido expressar
em termos de
, mas precisamos de mais informações.
Resposta
Não é possível determinar um valor numérico específico para o comprimento de onda do fóton com as informações fornecidas. Para calcular
, seria necessário conhecer a frequência angular
ou a constante elástica
do oscilador harmônico.