Calcule o comprimento de onda de um fóton necessário para excitar a transição entre níveis de energia vizinhos de um oscilador harmônico com massa efetiva igual a do próton ( 1,0078 g ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de onda de um fóton que faz a transição entre níveis de energia vizinhos num oscilador harmônico. Isso está ligado à física quântica, especificamente aos níveis de energia de um oscilador harmônico quântico. Para isso, vamos precisar usar a fórmula dos níveis de energia do oscilador harmônico e a relação entre energia e comprimento de onda do fóton.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são os níveis de energia de um oscilador harmônico quântico. A energia dos níveis é dada por:
En = (n + 12) hbar omega
Aqui, é o número do nível (0, 1, 2, …), é a constante de Planck reduzida, e é a frequência angular do oscilador.

Passo 3

Como queremos a transição entre níveis vizinhos, a diferença de energia entre dois níveis consecutivos ( De e ) é:
Então, a energia do fóton necessário para essa transição é igual a .

Passo 4

Agora, precisamos relacionar essa energia com o comprimento de onda do fóton. A energia de um fóton está ligada ao seu comprimento de onda pela equação:
E = hclambda
Onde:
  • é a energia do fóton,
  • é a constante de Planck,
  • é a velocidade da luz,
  • é o comprimento de onda.

Passo 5

Igualando as duas expressões para a energia do fóton:
hbar omega = hclambda
Queremos encontrar lambda = hchbar omega , então vamos isolar essa variável:

Passo 6

Sabemos que omega = raizkm (a frequência angular) está relacionada à massa efetiva e à constante elástica do oscilador pela fórmula:
Mas, aqui, não temos . Porém, vamos continuar com o que temos.

Passo 7

Vamos lembrar que lambda = hc(h/2pi) omega = 2pi comega , então podemos substituir na equação de :

Passo 8

Agora, precisamos relacionar lambda = 2pi comega com a energia do oscilador. No entanto, para prosseguir, precisamos de mais informações ou suposições sobre a constante elástica . Como não temos , vamos assumir que queremos expressar em termos de :

Passo 9

Para avançar com os cálculos numéricos, precisaríamos do valor de . Se considerarmos que a energia do nível fundamental ( ) é , mas sem mais dados, não podemos calcular numericamente. Acho que o exercício pode ter requerido expressar em termos de , mas precisamos de mais informações.

Resposta

Não é possível determinar um valor numérico específico para o comprimento de onda do fóton com as informações fornecidas. Para calcular , seria necessário conhecer a frequência angular ou a constante elástica do oscilador harmônico.

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