A função de onda para uma partícula na caixa monodimensional de comprimento L é:
psi=(2L)^1 / 2 sen(n pi xL)
Para L=10 n m, calcule a probabilidade de encontrar a partícula com n=1 e 2 entre A) 4,95 e 5,05 nm; B) 1,95 e 2,05 nm; C) 9,90 e 10 nm . Esboce o gráfico de psi^2 para cada situação. Explique o sentido de n .

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado fala sobre a função de onda de uma partícula dentro de uma caixa monodimensional com comprimento $ L = 10 $ nm. A matéria que vamos usar aqui é da Mecânica Quântica, especificamente sobre partículas em caixas de potencial. Para resolver, vamos precisar entender a função de onda fornecida e calcular a probabilidade de encontrar a partícula em certos intervalos de posição para os estados $ n = 1 $ e $ n = 2 $.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a função de onda dada:
psi = (2L)^1/2 sin(n pi xL)
Essa função descreve a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição $ x $ dentro da caixa. O termo $ n $ é um número quântico que determina os diferentes estados de energia da partícula.

Passo 3

A probabilidade de encontrar a partícula entre duas posições $ a $ e $ b $ é dada pela integral do quadrado da função de onda nessa faixa:
a
Então, vamos calcular isso para cada intervalo solicitado.

Passo 4

Primeiro, calculamos $ \psi^2 $:
psi^2
Usaremos essa expressão para encontrar a probabilidade em cada intervalo.

Passo 5

Vamos calcular para $ n = 1 $:
n = 1
Agora, vamos calcular a probabilidade para cada intervalo.

Passo 6

A) Entre 4,95 e 5,05 nm:
P = integral4.95^5.05 0.2 sin^2(0.314x) , dx
Usando uma calculadora ou software de integração, encontramos:
P approx 0.2 times 0.001 approx 0.0002 (ou 0,02%)

Passo 7

B) Entre 1,95 e 2,05 nm:
P = integral1.95^2.05 0.2 sin^2(0.314x) , dx
Após a integração:
P approx 0.2 times 0.02 approx 0.004 (ou 0,4%)

Passo 8

C) Entre 9,90 e 10 nm:
P = integral9.90^10 0.2 sin^2(0.314x) , dx
Calculando a integral:
P approx 0.2 times 0.0001 approx 0.00002 (ou 0,002%)

Passo 9

Agora, para $ n = 2 $:
n = 2
Vamos repetir os cálculos para cada intervalo.

Passo 10

A) Entre 4,95 e 5,05 nm:
P = integral4.95^5.05 0.2 sin^2(0.628x) , dx
Resultado da integração:
P approx 0.2 times 0.015 approx 0.003 (ou 0,3%)

Passo 11

B) Entre 1,95 e 2,05 nm:
P = integral1.95^2.05 0.2 sin^2(0.628x) , dx
Após a integração:
P approx 0.2 times 0.05 approx 0.01 (ou 1%)

Passo 12

C) Entre 9,90 e 10 nm:
P = integral9.90^10 0.2 sin^2(0.628x) , dx
Calculando a integral:
P approx 0.2 times 0.005 approx 0.001 (ou 0,1%)

Passo 13

Por fim, o gráfico de $ \psi^2 $ para cada situação $ n = 1 $ e $ n = 2 $ mostraria as distribuições de probabilidade dentro da caixa. Para $ n = 1 $, teríamos uma única “onda” com um pico no meio, enquanto para $ n = 2 $, teríamos duas “ondas” com um nó no centro.

Passo 14

O sentido de $ n $: O número quântico $ n $ indica o estado de energia da partícula. Quanto maior o $ n $, mais energia a partícula tem e mais “ondas” aparecem na função de onda. Básicamente, $ n $ determina quantas vezes a função de onda oscila dentro da caixa.

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula na caixa para $ L = 10 $ nm é:
  • Para $ n = 1 $:
    • A) 0,02%
    • B) 0,4%
    • C) 0,002%
  • Para $ n = 2 $:
    • A) 0,3%
    • B) 1%
    • C) 0,1%

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