A função de onda para uma partícula na caixa monodimensional de comprimento L é:
Para
, calcule a probabilidade de encontrar a partícula com
e 2 entre A) 4,95 e
; B) 1,95 e
; C) 9,90 e 10 nm . Esboce o gráfico de
para cada situação. Explique o sentido de n .
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado fala sobre a função de onda de uma partícula dentro de uma caixa monodimensional com comprimento $ L = 10 $ nm. A matéria que vamos usar aqui é da Mecânica Quântica, especificamente sobre partículas em caixas de potencial. Para resolver, vamos precisar entender a função de onda fornecida e calcular a probabilidade de encontrar a partícula em certos intervalos de posição para os estados $ n = 1 $ e $ n = 2 $.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a função de onda dada:
Essa função descreve a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição $ x $ dentro da caixa. O termo $ n $ é um número quântico que determina os diferentes estados de energia da partícula.
Passo 3
A probabilidade de encontrar a partícula entre duas posições $ a $ e $ b $ é dada pela integral do quadrado da função de onda nessa faixa:
Então, vamos calcular isso para cada intervalo solicitado.
Passo 4
Primeiro, calculamos $ \psi^2 $:
Usaremos essa expressão para encontrar a probabilidade em cada intervalo.
Passo 5
Vamos calcular para $ n = 1 $:
Agora, vamos calcular a probabilidade para cada intervalo.
Passo 6
A) Entre 4,95 e 5,05 nm:
Usando uma calculadora ou software de integração, encontramos:
Passo 7
B) Entre 1,95 e 2,05 nm:
Após a integração:
Passo 8
C) Entre 9,90 e 10 nm:
Calculando a integral:
Passo 9
Agora, para $ n = 2 $:
Vamos repetir os cálculos para cada intervalo.
Passo 10
A) Entre 4,95 e 5,05 nm:
Resultado da integração:
Passo 11
B) Entre 1,95 e 2,05 nm:
Após a integração:
Passo 12
C) Entre 9,90 e 10 nm:
Calculando a integral:
Passo 13
Por fim, o gráfico de $ \psi^2 $ para cada situação $ n = 1 $ e $ n = 2 $ mostraria as distribuições de probabilidade dentro da caixa. Para $ n = 1 $, teríamos uma única “onda” com um pico no meio, enquanto para $ n = 2 $, teríamos duas “ondas” com um nó no centro.
Passo 14
O sentido de $ n $: O número quântico $ n $ indica o estado de energia da partícula. Quanto maior o $ n $, mais energia a partícula tem e mais “ondas” aparecem na função de onda. Básicamente, $ n $ determina quantas vezes a função de onda oscila dentro da caixa.
Resposta
A probabilidade de encontrar a partícula na caixa para $ L = 10 $ nm é:
-
Para $ n = 1 $:
- A) 0,02%
- B) 0,4%
- C) 0,002%
-
Para $ n = 2 $:
- A) 0,3%
- B) 1%
- C) 0,1%