Considere um sistema composto por duas partículas de massa 2 kg , cujas posições em função do tempo são dadas pelos vetores r1=(0, t^2, t^2), r2=(t, t^3, 0).
n) Qual o vetor posição, o vetor velocidade e o vetor aceleração do centro de massa do sistema?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um sistema com duas partículas, cada uma com massa de 2 kg. As posições dessas partículas dependem do tempo e são dadas pelos vetores:
r1 = (0, t^2, t^2)
r2 = (t, t^3, 0)
O que queremos encontrar é o vetor posição, o vetor velocidade e o vetor aceleração do centro de massa desse sistema. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especificamente sobre o centro de massa e como calcular suas propriedades a partir das posições das partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o vetor posição do centro de massa. A fórmula geral para o centro de massa ( R) de um sistema de partículas é:
R = 1M sumi mi ri
Onde M é a massa total do sistema, mi é a massa de cada partícula e ri é o vetor posição de cada partícula.
Como aqui temos duas partículas com a mesma massa de 2 kg, a massa total M será:
M = m1 + m2 = 2,kg + 2,kg = 4,kg

Passo 3

Agora, vamos calcular o vetor posição do centro de massa R. Aplicando a fórmula:
R = 14 ( 2 cdot r1 + 2 cdot r2 ) = 14 cdot 2 ( r1 + r2 ) = 12 ( r1 + r2 )
Substituindo r1 e r2:
R = 12 ( (0, t^2, t^2) + (t, t^3, 0) ) = 12 ( (0 + t, t^2 + t^3, t^2 + 0) ) = 12 ( t, t^2 + t^3, t^2 )
Portanto:
R = ( t2, t^2 + t^32, t^22 )

Passo 4

Agora que temos o vetor posição do centro de massa, vamos calcular o vetor velocidade ( V) do centro de massa. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
V = dRdt
Vamos derivar cada componente de R:
ddt ( t2 ) = 12
ddt ( t^2 + t^32 ) = 2t + 3t^22 = 2t + 3t^22
ddt ( t^22 ) = 2t2 = t
Então, o vetor velocidade é:
V = ( 12, 2t + 3t^22, t )

Passo 5

Finalmente, vamos achar o vetor aceleração ( A) do centro de massa, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
A = dVdt
Derivando cada componente de V:
ddt ( 12 ) = 0
ddt ( 2t + 3t^22 ) = 2 + 6t2 = 1 + 3t
ddt (t) = 1
Portanto, o vetor aceleração é:
A = ( 0, 1 + 3t, 1 )

Resposta

O vetor posição, velocidade e aceleração do centro de massa do sistema são:
R = ( t2, t^2 + t^32, t^22 )
V = ( 12, 2t + 3t^22, t )
A = ( 0, 1 + 3t, 1 )

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