Considere um sistema composto por duas partículas de massa 2 kg , cujas posições em função do tempo são dadas pelos vetores
.
n) Qual o vetor posição, o vetor velocidade e o vetor aceleração do centro de massa do sistema?
n) Qual o vetor posição, o vetor velocidade e o vetor aceleração do centro de massa do sistema?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um sistema com duas partículas, cada uma com massa de 2 kg. As posições dessas partículas dependem do tempo e são dadas pelos vetores:
O que queremos encontrar é o vetor posição, o vetor velocidade e o vetor aceleração do centro de massa desse sistema. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especificamente sobre o centro de massa e como calcular suas propriedades a partir das posições das partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o vetor posição do centro de massa. A fórmula geral para o centro de massa (
) de um sistema de partículas é:
Onde
é a massa total do sistema,
é a massa de cada partícula e
é o vetor posição de cada partícula.
Como aqui temos duas partículas com a mesma massa de 2 kg, a massa total
será:
Passo 3
Agora, vamos calcular o vetor posição do centro de massa
. Aplicando a fórmula:
Substituindo
e
:
Portanto:
Passo 4
Agora que temos o vetor posição do centro de massa, vamos calcular o vetor velocidade (
) do centro de massa. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Vamos derivar cada componente de
:
Então, o vetor velocidade é:
Passo 5
Finalmente, vamos achar o vetor aceleração (
) do centro de massa, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada componente de
:
Portanto, o vetor aceleração é:
Resposta
O vetor posição, velocidade e aceleração do centro de massa do sistema são: