Suponha que um sistema de fila tenha dois servidores, distribuição exponencial dos tempos entre chegadas (média de 2 horas) e distribuição exponencial dos tempos de serviço (média de 2 horas). Além disso, acabou de chegar um cliente às 12 horas (meio-dia). (a) Qual a probabilidade de que a próxima chegada ocorra antes das 13 h ? Entre 13 h e 14 h ? Depois das 14 h ? (b) Suponha que nenhum outro cliente chegou antes das 13 h . Qual a probabilidade de que a próxima chegada ocorra entre 13 h e 14 h ? (c) Qual a probabilidade de que o número de chegadas entre 13 h e 14 h seja zero? Um? Dois ou mais? (d) Suponha que ambos os servidores estejam atendendo clientes às 13h. Qual a probabilidade de que nenhum dos clientes tenha seus serviços concluídos antes das 14 horas? Antes da 13 h 10 min ? Antes das 13 h 01 min ?
Passo 1
Enunciado e dados importantes (vou listar o que o problema dá e o que ele pede, ponto a ponto):
- Foi informado que o sistema de fila tem dois servidores.
- Os tempos entre chegadas têm distribuição exponencial com média de
horas. - Os tempos de serviço têm distribuição exponencial com média de
horas. - Acabou de chegar um cliente às
horas (meio‑dia). - Perguntas:
(a) Qual a probabilidade de que a próxima chegada ocorra antes dash? Entre h e h? Depois das h?
(b) Supondo que nenhum outro cliente chegou antes dash, qual a probabilidade de que a próxima chegada ocorra entre h e h?
(c) Qual a probabilidade de que o número de chegadas entreh e h seja zero? Um? Dois ou mais?
(d) Suponha que ambos os servidores estejam atendendo clientes àsh. Qual a probabilidade de que nenhum dos clientes tenha seus serviços concluídos antes das h? Antes das h min? Antes das h min?
Passo 2
Converter as médias em taxas e lembrar fórmulas úteis (isso é só organizar os números):
- Para uma distribuição exponencial, a relação entre a média
e a taxa é
- Aqui a média dos tempos entre chegadas é
horas, logo a taxa de chegadas é
- A média dos tempos de serviço é
horas para cada servidor, então a taxa de serviço por servidor é
Passo 3
Propriedades da exponencial e do processo de Poisson (a parte teórica que vamos usar várias vezes — explico devagar e com calma):
- Se
é exponencial com taxa , então a função distribuição acumulada (CDF) e a função sobrevivência são:
Isto significa que a probabilidade de a próxima ocorrência ocorrer até
horas a partir de agora é
.
- A distribuição exponencial é “sem memória”: para
,
Em palavras: se já passou um tempo
sem ocorrência, a distribuição do tempo adicional até a ocorrência não depende do passado. Isso é muito útil para condicionais como a do item (b).
- Quando os tempos entre chegadas são exponenciais com taxa
, o processo de chegadas é um processo de Poisson com taxa . O número de chegadas em um intervalo de comprimento tem distribuição de Poisson com média :
Vou usar isso no item (c).
Passo 4
Resolver (a) — probabilidades relacionadas à próxima chegada a partir de
h:
- “Próxima chegada antes das
h” significa tempo até a próxima chegada hora. Usando a CDF da exponencial com :
- “Entre
h e h” significa . Podemos calcular como diferença de CDFs:
Substituindo
:
- “Depois das
h” significa :
- Se quiser números aproximados (úteis para intuição):
logo
e
.
Passo 5
Resolver (b) — condicional dado que não houve chegada antes das
h:
-
Situação: nenhum cliente chegou no intervalo
. Queremos . -
Pelo cálculo direto de probabilidade condicional:
- Interpretando com a propriedade sem memória: dado que já passou 1 hora sem chegada, o tempo adicional até a próxima chegada tem a mesma distribuição exponencial original; portanto a probabilidade de que ela ocorra nos próximos
hora (entre e ) é igual a . Isso dá o mesmo resultado, e é mais intuitivo na prova.
Passo 6
Resolver (c) — número de chegadas entre
h e
h:
-
O número de chegadas em um intervalo de comprimento
hora é Poisson com média . -
Usando a PMF da Poisson:
- Probabilidade de zero chegadas:
- Probabilidade de uma chegada:
- Probabilidade de dois ou mais:
-
Valores aproximados:
Passo 7
Resolver (d) — probabilidades de que nenhum dos dois serviços seja completado em certos intervalos, com ambos ocupados às
h:
- Modelo: tempos de serviço de cada servidor são independentes e exponenciais com taxa
por hora. Se em horas desde as h queremos que nenhum serviço termine, precisamos que os dois tempos residuais excedam . Pela independência:
-
Substituindo
dá , então: - Para nenhum terminar antes das
h ( hora):
- Para nenhum terminar antes das
h min: hora, então
- Para nenhum terminar antes das
h min: hora, então
- Para nenhum terminar antes das
-
Valores aproximados:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)