Suponha que um sistema de fila tenha dois servidores, distribuição exponencial dos tempos entre chegadas (média de 2 horas) e distribuição exponencial dos tempos de serviço (média de 2 horas). Além disso, acabou de chegar um cliente às 12 horas (meio-dia). (a) Qual a probabilidade de que a próxima chegada ocorra antes das 13 h ? Entre 13 h e 14 h ? Depois das 14 h ? (b) Suponha que nenhum outro cliente chegou antes das 13 h . Qual a probabilidade de que a próxima chegada ocorra entre 13 h e 14 h ? (c) Qual a probabilidade de que o número de chegadas entre 13 h e 14 h seja zero? Um? Dois ou mais? (d) Suponha que ambos os servidores estejam atendendo clientes às 13h. Qual a probabilidade de que nenhum dos clientes tenha seus serviços concluídos antes das 14 horas? Antes da 13 h 10 min ? Antes das 13 h 01 min ?

Passo 1

Enunciado e dados importantes (vou listar o que o problema dá e o que ele pede, ponto a ponto):
  • Foi informado que o sistema de fila tem dois servidores.
  • Os tempos entre chegadas têm distribuição exponencial com média de 2 horas.
  • Os tempos de serviço têm distribuição exponencial com média de 2 horas.
  • Acabou de chegar um cliente às 12 horas (meio‑dia).
  • Perguntas:
    (a) Qual a probabilidade de que a próxima chegada ocorra antes das 13 h? Entre 13 h e 14 h? Depois das 14 h?
    (b) Supondo que nenhum outro cliente chegou antes das 13 h, qual a probabilidade de que a próxima chegada ocorra entre 13 h e 14 h?
    (c) Qual a probabilidade de que o número de chegadas entre 13 h e 14 h seja zero? Um? Dois ou mais?
    (d) Suponha que ambos os servidores estejam atendendo clientes às 13 h. Qual a probabilidade de que nenhum dos clientes tenha seus serviços concluídos antes das 14 h? Antes das 13 h 10 min? Antes das 13 h 01 min?

Passo 2

Converter as médias em taxas e lembrar fórmulas úteis (isso é só organizar os números):
  • Para uma distribuição exponencial, a relação entre a média \text{E}[T] e a taxa \lambda é
\text{E}[T]=\frac{1}{\lambda}.
  • Aqui a média dos tempos entre chegadas é 2 horas, logo a taxa de chegadas é
\lambda=\frac{1}{2}=0{,}5\\ \text{(por hora)}.
  • A média dos tempos de serviço é 2 horas para cada servidor, então a taxa de serviço por servidor é
\mu=\frac{1}{2}=0{,}5\\ \text{(por hora)}.

Passo 3

Propriedades da exponencial e do processo de Poisson (a parte teórica que vamos usar várias vezes — explico devagar e com calma):
  • Se T é exponencial com taxa \lambda, então a função distribuição acumulada (CDF) e a função sobrevivência são:
P(T\le t)=1-e^{-\lambda t},\qquad P(T>t)=e^{-\lambda t}.
Isto significa que a probabilidade de a próxima ocorrência ocorrer até t horas a partir de agora é 1-e^{-\lambda t}.
  • A distribuição exponencial é “sem memória”: para s,t\ge0,
P(T>s+t\mid T>s)=P(T>t).
Em palavras: se já passou um tempo s sem ocorrência, a distribuição do tempo adicional até a ocorrência não depende do passado. Isso é muito útil para condicionais como a do item (b).
  • Quando os tempos entre chegadas são exponenciais com taxa \lambda, o processo de chegadas é um processo de Poisson com taxa \lambda. O número de chegadas em um intervalo de comprimento t tem distribuição de Poisson com média \lambda t:
P(N(t)=k)=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^k}{k!},\qquad k=0,1,2,\dots
Vou usar isso no item (c).

Passo 4

Resolver (a) — probabilidades relacionadas à próxima chegada a partir de 12 h:
  • “Próxima chegada antes das 13 h” significa tempo até a próxima chegada T\le 1 hora. Usando a CDF da exponencial com \lambda=0{,}5:
P(T\le 1)=1-e^{-\lambda\cdot 1}=1-e^{-0{,}5}.
  • “Entre 13 h e 14 h” significa 1<T\le 2. Podemos calcular como diferença de CDFs:
P(1<T\le 2)=P(T\le 2)-P(T\le 1)=\bigl(1-e^{-\lambda\cdot 2}\bigr)-\bigl(1-e^{-\lambda\cdot 1}\bigr)=e^{-\lambda\cdot 1}-e^{-\lambda\cdot 2}.
Substituindo \lambda=0{,}5:
P(1<T\le 2)=e^{-0{,}5}-e^{-1}.
  • “Depois das 14 h” significa T>2:
P(T>2)=e^{-\lambda\cdot 2}=e^{-1}.
  • Se quiser números aproximados (úteis para intuição):
e^{-0{,}5}\approx 0{,}60653,\qquad e^{-1}\approx 0{,}36788,
logo 1-e^{-0{,}5}\approx 0{,}39347 e e^{-0{,}5}-e^{-1}\approx 0{,}23865.

Passo 5

Resolver (b) — condicional dado que não houve chegada antes das 13 h:
  • Situação: nenhum cliente chegou no intervalo [12,13). Queremos P(\text{próxima chegada em }(13,14]\mid \text{nenhuma antes de }13)ó.
  • Pelo cálculo direto de probabilidade condicional:
P(1<T\le 2\mid T>1)=\frac{P(1<T\le 2)}{P(T>1)}=\frac{e^{-0{,}5}-e^{-1}}{e^{-0{,}5}}=1-e^{-0{,}5}.
  • Interpretando com a propriedade sem memória: dado que já passou 1 hora sem chegada, o tempo adicional até a próxima chegada tem a mesma distribuição exponencial original; portanto a probabilidade de que ela ocorra nos próximos 1 hora (entre 13 e 14) é igual a P(T\le 1)=1-e^{-0{,}5}. Isso dá o mesmo resultado, e é mais intuitivo na prova.

Passo 6

Resolver (c) — número de chegadas entre 13 h e 14 h:
  • O número de chegadas em um intervalo de comprimento t=1 hora é Poisson com média \lambda t=\;0{,}5\cdot 1=0{,}5.
  • Usando a PMF da Poisson:
    • Probabilidade de zero chegadas:
    P(N=0)=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^0}{0!}=e^{-0{,}5}.
    • Probabilidade de uma chegada:
    P(N=1)=e^{-0{,}5}\frac{(0{,}5)^1}{1!}=0{,}5\,e^{-0{,}5}.
    • Probabilidade de dois ou mais:
    P(N\ge 2)=1-P(N=0)-P(N=1)=1-e^{-0{,}5}\Bigl(1+0{,}5\Bigr).
  • Valores aproximados:
P(N=0)=e^{-0{,}5}\approx 0{,}60653,\quad P(N=1)\approx 0{,}30327,\quad P(N\ge 2)\approx 0{,}09020.

Passo 7

Resolver (d) — probabilidades de que nenhum dos dois serviços seja completado em certos intervalos, com ambos ocupados às 13 h:
  • Modelo: tempos de serviço de cada servidor são independentes e exponenciais com taxa \mu=0{,}5 por hora. Se em t horas desde as 13 h queremos que nenhum serviço termine, precisamos que os dois tempos residuais excedam t. Pela independência:
P(\text{nenhum termina em }[13,13+t])=P(S_1>t)\cdot P(S_2>t)=\bigl(e^{-\mu t}\bigr)^2=e^{-2\mu t}.
  • Substituindo \mu=0{,}5 2\mu=1, então:
    • Para nenhum terminar antes das 14 h ( t=1 hora):
    P=\;e^{-2\mu\cdot 1}=e^{-1}.
    • Para nenhum terminar antes das 13 h 10 min: t=\tfrac{1}{6} hora, então
    P=e^{-2\mu\cdot (1/6)}=e^{-(2\cdot 0{,}5)\cdot (1/6)}=e^{-1/6}.
    • Para nenhum terminar antes das 13 h 01 min: t=\tfrac{1}{60} hora, então
    P=e^{-2\mu\cdot (1/60)}=e^{-1/60}.
  • Valores aproximados:
e^{-1}\approx 0{,}36788,\quad e^{-1/6}\approx 0{,}84648,\quad e^{-1/60}\approx 0{,}98347.

Resposta

(a) P(\text{próxima chegada antes das 13h})=1-e^{-1/2}\approx 0,39347;\quad P(13\text{h}<\text{chegada}\le14\text{h})=e^{-1/2}-e^{-1}\approx 0,23865;\quad P(\text{próxima chegada depois das 14h})=e^{-1}\approx 0,36788óó
(b) P(\text{próxima chegada entre 13h e 14h}\mid\text{nenhuma antes das 13h})=1-e^{-1/2}\approx 0,39347ó
(c) P(\text{0 chegadas})=e^{-1/2}\approx 0,60653;\quad P(\text{1 chegada})=0{,}5\,e^{-1/2}\approx 0,30327;\quad P(\text{2 ou mais})=1-e^{-1/2}(1+0{,}5)\approx 0,09020
(d) P(\text{nenhum termina antes das 14h})=e^{-1}\approx 0,36788;\quad P(\text{nenhum termina antes das 13h10min})=e^{-1/6}\approx 0,84648;\quad P(\text{nenhum termina antes das 13h01min})=e^{-1/60}\approx 0,98347

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