Calcule o comprimento das seguintes curvas:
\alpha(t)=\left(2 t, t^{2}, \frac{t^{3}}{3}\right), 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva parametrizada
\alpha(t) = \bigl(2t,\;t^2,\;\tfrac{t^3}{3}\bigr), \quad 0 \le t \le 1.
Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco de uma curva em \mathbb{R}^3:
L = \int_{a}^{b}\bigl\|\alpha'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Calcular a derivada vetor \alpha'(t). Derivando componente a componente:
\alpha'(t) = \bigl(2,\;2t,\;t^2\bigr).

Passo 3

Encontrar a norma \bigl\|\alpha'(t)\bigr\|. Temos
\bigl\|\alpha'(t)\bigr\| = \sqrt{2^2 + (2t)^2 + (t^2)^2} = \sqrt{4 + 4t^2 + t^4} = \sqrt{\bigl(t^2 + 2\bigr)^2} = t^2 + 2,
pois em 0\le t\le1 a quantidade t^2+2 é não negativa.

Passo 4

Agora integrar de 0 a 1:
L = \int_{0}^{1} \bigl(t^2 + 2\bigr)\,dt = \int_{0}^{1} t^2\,dt \;+\; \int_{0}^{1} 2\,dt = \Bigl[\tfrac{t^3}{3}\Bigr]_{0}^{1} \;+\; \Bigl[2t\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{7}{3}.

Resposta

O comprimento da curva é \displaystyle \tfrac{7}{3}.

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