Resolva os sistemas de inequações:
-1<\frac{x-5}{2 x+3}<2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
-1 < \frac{x-5}{2x+3} < 2.
Primeiro anotamos o domínio excluindo 2x+3=0, ou seja
x \neq -\tfrac32.
Em seguida separamos em duas inequações:
-1<\frac{x-5}{2x+3} \quad\text{e}\quad \frac{x-5}{2x+3}<2.

Passo 2

Resolver -1<\frac{x-5}{2x+3}. Reescrevendo com denominador comum:
\frac{x-5}{2x+3}+1>0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x-5+(2x+3)}{2x+3}>0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3x-2}{2x+3}>0.
Os zeros do numerador e denominador estão em x=\tfrac23 e x=-\tfrac32. Pelo quadro de sinais, concluímos
x\in(-\infty,-\tfrac32)\,\cup\,(\tfrac23,\infty).

Passo 3

Resolver \frac{x-5}{2x+3}<2. Passando 2 para mesmo denominador:
\frac{x-5}{2x+3}-2<0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x-5-2(2x+3)}{2x+3}<0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{-3x-11}{2x+3}<0.
Os zeros do numerador e denominador estão em x=-\tfrac{11}3 e x=-\tfrac32. Pelo quadro de sinais, obtemos
x\in(-\infty,-\tfrac{11}3)\,\cup\,(-\tfrac32,\infty).

Passo 4

Fazendo a intersecção das soluções dos dois passos e lembrando x\neq -\tfrac32, temos
\bigl((-\infty,-\tfrac32)\cup(\tfrac23,\infty)\bigr) \;\cap\; \bigl((-\infty,-\tfrac{11}3)\cup(-\tfrac32,\infty)\bigr) = (-\infty,-\tfrac{11}3)\,\cup\,(\tfrac23,\infty).

Resposta

x\in(-\infty,-\tfrac{11}3)\,\cup\,(\tfrac23,\infty).

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