Resolva os sistemas de inequações:
\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x-3}{-2}<0 \\\ \frac{5-x}{x+1}>0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de inequações racionais
\frac{2x-3}{-2}<0
e
\frac{5-x}{x+1}>0.
O conteúdo é resolução de inequações do tipo quociente, então vamos tratar cada desigualdade isoladamente e depois intersectar as soluções.

Passo 2

Para resolver \frac{2x-3}{-2}<0 note que o denominador -2 é negativo. Ao multiplicar ambos os lados por -2, a desigualdade inverte-se:
2x-3>0
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x>\frac{3}{2}.

Passo 3

Para resolver \frac{5-x}{x+1}>0 fazemos o estudo de sinal do quociente. O numerador 5-x zera em x=5 e o denominador x+1 zera em x=-1 (ponto proibido). Nos intervalos determinados por esses pontos:
no intervalo (-\infty,-1), testando x=-2, o quociente vale
\frac{5-(-2)}{-2+1}=\frac{7}{-1}<0;
no intervalo (-1,5), testando x=0, vale
\frac{5-0}{0+1}=5>0;
e em (5,\infty), testando x=6, vale
\frac{5-6}{6+1}=\frac{-1}{7}<0.
Portanto a desigualdade \frac{5-x}{x+1}>0 é satisfeita somente quando
-1<x<5.

Passo 4

A solução do sistema é a interseção das duas condições \{\,x>\tfrac32\} e \{-1<x<5\}, ou seja
\frac{3}{2}<x<5.

Resposta

\left(\frac{3}{2},5\right)

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