Calcule a curvatura das curvas nos pontos especificados:
\alpha(t)=\left(e^{t}, e^{-t}, t \sqrt{2}\right) ;(1,1,0).

Passo 1

O enunciado pede a curvatura da curva \alpha(t) = \bigl(e^{t},e^{-t},t\sqrt{2}\bigr) no ponto (1,1,0). O conteúdo é geometria de curvas em \mathbb{R}^3 e usaremos a definição
\kappa(t) \;=\;\frac{\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\|}{\bigl\|\alpha'(t)\bigr\|^{3}}.

Passo 2

Precisamos encontrar o valor t_{0} tal que \alpha(t_{0})=(1,1,0). Das primeiras duas coordenadas vem
e^{t_{0}} = 1\quad\Rightarrow\quad t_{0}=0,
e confere que e^{-0}=1 e 0\cdot\sqrt{2}=0.

Passo 3

Calculamos a primeira derivada
\alpha'(t)=\bigl(e^{t},\, -e^{-t},\, \sqrt{2}\bigr),
logo em t=0
\alpha'(0) = \bigl(1,\,-1,\,\sqrt{2}\bigr).

Passo 4

Calculamos a segunda derivada
\alpha''(t)=\bigl(e^{t},\, e^{-t},\,0\bigr),
logo em t=0
\alpha''(0) = \bigl(1,\,1,\,0\bigr).

Passo 5

Formamos o produto vetorial em t=0:
\alpha'(0)\times\alpha''(0) =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & -1 & \sqrt{2}\\\\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} =(-\sqrt{2},\,\sqrt{2},\,2).
Seu módulo é
\bigl\|\alpha'(0)\times\alpha''(0)\bigr\| =\sqrt{(-\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}+2^{2}} =2\sqrt{2}.

Passo 6

O módulo de \alpha'(0) é
\bigl\|\alpha'(0)\bigr\| =\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+(\sqrt{2})^{2}} =2.

Passo 7

Substituindo na fórmula da curvatura:
\kappa(0) =\frac{2\sqrt{2}}{(2)^{3}} =\frac{2\sqrt{2}}{8} =\frac{\sqrt{2}}{4}.

Resposta

\displaystyle \kappa=\frac{\sqrt{2}}{4}.

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