Calcule o comprimento das seguintes curvas dadas na forma polar:
(b) r=2 sec theta, 0 <= theta <= pi3

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva dada em coordenadas polares por
r=2sectheta, 0<=theta<=pi3
O conteúdo que vamos usar é a fórmula do comprimento em coordenadas polares:
L=integrala^braizr(theta)^2+l(r'(theta)r)^2;dtheta

Passo 2

Calculamos a derivada de r em relação a theta:
r(theta)=2sectheta Longrightarrow r'(theta)=2secthetatantheta
Então
r(theta)^2+l(r'(theta)r)^2 =4sec^2theta+4sec^2thetatan^2theta

Passo 3

Fatorando 4sec^2theta,
4sec^2thetal(1+tan^2thetar) =4sec^2thetasec^2theta =4sec^4theta
Logo a raiz fica
raizr^2+(r')^2 =raiz4sec^4theta =2sec^2theta

Passo 4

O comprimento é
L=integral0^pi/32sec^2theta;dtheta =2integral0^pi/3sec^2theta;dtheta =2l[tanthetar]0^pi/3 =2l(tan!tfracpi3-tan0r) =2raiz3

Resposta

O comprimento da curva é 2raiz3.

Exercícios relacionados