Calcule o comprimento das seguintes curvas dadas na forma polar:
(d) r=theta / 3,0 <= theta <= pi2

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva polar
r = theta3, 0 <= theta <= pi2
Vamos usar a fórmula de comprimento de arco em coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares, o comprimento de arco é
L = integrala^b raizr(theta)^2 + l(r'(theta)r)^2,dtheta
Aqui r(theta)=theta/3, logo
r'(theta) = ddthetal(theta3r)=13

Passo 3

Substituindo em L:
L = integral0^pi2 raizl(theta3r)^2 + l(13r)^2,dtheta = integral0^pi2 raiztheta^2 + 13,dtheta = 13integral0^pi2 raiztheta^2 + 1,dtheta

Passo 4

Para calcular
I = integral raiztheta^2 + 1,dtheta
usamos a primitiva conhecida
integral raiztheta^2 + 1,dtheta = theta2raiztheta^2+1 + 12ln!l(theta + raiztheta^2+1r) + C

Passo 5

Avaliaremos de 0 a pi/2. Primeiro em theta=pi/2:
pi/22raizl(tfracpi2r)^2+1 + 12ln!l(pi2 + raiztfracpi^24+1r) = pi4cdotraizpi^2+42 + 12ln!l(pi + raizpi^2+42r) = piraizpi^2+48 + 12ln!l(pi + raizpi^2+42r)
Em theta=0 toda a expressão é zero. Logo
integral0^pi2raiztheta^2+1,dtheta = piraizpi^2+48 + 12ln!l(pi + raizpi^2+42r)

Passo 6

Multiplicando por 1/3 obtemos o comprimento pedido:
L = 13gl[ piraizpi^2+48 + 12ln!l(pi + raizpi^2+42r) gr] = piraizpi^2+424 + 16ln!l(pi + raizpi^2+42r)

Resposta

L = piraizpi^2+424 + 16ln!l(pi + raizpi^2+42r)

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