1. Usando o método das Seções transversais, mostrar que o volume do sólido obtido pela rotação do círculo x^2+y^2 <= r^2 em torno do eixo y=0, é V=43 pi r^3.

Passo 1

O enunciado pede para usar o método das seções transversais (fatias perpendiculares ao eixo de rotação) para calcular o volume do sólido obtido ao girar o disco \r
(x,y)mid x^2+y^2<= r^2\r
em torno da reta y=0 (eixo x). Vamos enxergar cada fatia em x fixo como um disco de raio dependente de x.

Passo 2

Para um valor fixo de xin[-r,r], o disco original tem seção vertical entre \r
,y=-raizr^2-x^2e y=+raizr^2-x^2\r
Ao girar essa reta em torno de y=0, obtemos um disco de raio \r
rho(x)=raizr^2-x^2\r
A área dessa seção circular é\r
A(x)=pil(rho(x)r)^2 =pil(r^2-x^2r)

Passo 3

O volume total é a integral dessas áreas de fatias desde x=-r até x=+r:\r
V=integral-r^rA(x),dx =piintegral-r^rl(r^2-x^2r),dx \r
Como o integrando é função par, podemos escrever\r
V=2piintegral0^rl(r^2-x^2r),dx \r
Uma antiderivada de r^2-x^2 é r^2x-tfracx^33, logo\r
V=2pil[r^2x-tfracx^33r]0^r =2pil(r^3-tfracr^33r) =2picdottfrac2r^33 =tfrac43,pi,r^3

Resposta

V=tfrac43,pi,r^3

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