Calcule o comprimento das seguintes curvas dadas na forma polar:
(f) r=3 cos ^2(theta2), 0 <= theta <= pi2

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva em coordenadas polares
r=3cos^2!l(tfractheta2r), 0<=theta<=pi2
O conteúdo é cálculo de comprimento em forma polar, para o qual usamos
L=integraltheta1^theta2raiz,r^2+l(drdthetar)^2,;dtheta

Passo 2

Calculando a derivada de r:
ddthetacos^2!l(tfractheta2r) =2cos!l(tfractheta2r)cdotl(-sin!l(tfractheta2r)cdottfrac12r) =-cos!l(tfractheta2r)sin!l(tfractheta2r)
Multiplicando por 3:
drdtheta =3cdotl(-cos(tfractheta2)sin(tfractheta2)r) =-3cos!l(tfractheta2r)sin!l(tfractheta2r) =-tfrac32,sintheta

Passo 3

Agora o radicando:
r^2+l(drdthetar)^2 =9cos^4!l(tfractheta2r) +94sin^2theta =9l[cos^4!l(tfractheta2r) +sin^2!l(tfractheta2r)cos^2!l(tfractheta2r)r] =9cos^2!l(tfractheta2r)
Como em [0,pi/2] temos cos(theta/2)>=0,
raizr^2+l(tfracdrdthetar)^2 =3cos!l(tfractheta2r)

Passo 4

Substituindo em
L=integral0^pi/23cos!l(tfractheta2r),dtheta
fazer u=theta/2, dtheta=2,du, limites theta=0to u=0 e theta=pi/2to u=pi/4:
L =6integral0^pi/4cos u,du =6l[sin ur]0^pi/4 =6cdotraiz22 =3raiz2

Resposta

O comprimento da curva é 3raiz2.

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