Determine a solução geral das seguintes equações lineares de segunda ordem não-homogêneas:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação linear não-homogênea de ordem quatro
O conteúdo é EDO com coeficientes constantes e termo não-homogêneo polinomial. Vamos precisar (i) achar a solução geral da homogênea usando a equação característica e (ii) um particular por coeficientes a determinar, cuidando da ressonância quando
for raiz da característica.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
A equação característica é
As raízes são
(multiplicidade 2) e
(multiplicidade 2). Logo
Passo 3
Para um particular de
e sabendo que
tem multiplicidade 2 (ressonância com polinômio), tentamos
Passo 4
Calculamos derivadas até quarta ordem:
Substituindo em
obtém-se
Passo 5
Igualando ao termo não-homogêneo
Da primeira vem (a=\tfrac1{20}]. Então
Passo 6
O particular é
Assim a solução geral é