Determine a solução geral das seguintes equações lineares de segunda ordem não-homogêneas:
y^prime prime prime prime-2 y^prime prime prime+y^prime prime=x^3

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação linear não-homogênea de ordem quatro
y^(4) - 2,y^(3) + y'' = x^3
O conteúdo é EDO com coeficientes constantes e termo não-homogêneo polinomial. Vamos precisar (i) achar a solução geral da homogênea usando a equação característica e (ii) um particular por coeficientes a determinar, cuidando da ressonância quando r=0 for raiz da característica.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y^(4) - 2,y^(3) + y'' = 0
A equação característica é
r^4 - 2r^3 + r^2 = r^2(r^2 - 2r +1) = r^2(r-1)^2 = 0
As raízes são r=0 (multiplicidade 2) e r=1 (multiplicidade 2). Logo
yh = C1 + C2 x + C3 e^x + C4,x,e^x

Passo 3

Para um particular de x^3 e sabendo que r=0 tem multiplicidade 2 (ressonância com polinômio), tentamos
yp = x^2l(a x^3 + b x^2 + c x + dr) = a x^5 + b x^4 + c x^3 + d x^2

Passo 4

Calculamos derivadas até quarta ordem:
yp'' = 20a x^3 + 12b x^2 + 6c x + 2d,
yp^(3) = 60a x^2 + 24b x + 6c,
yp^(4) = 120a x + 24b
Substituindo em L[yp]=yp^(4) -2yp^(3) + yp'' obtém-se
L[yp] =20a x^3 + (12b-120a)x^2 + (120a-48b+6c)x + (24b-12c+2d)

Passo 5

Igualando ao termo não-homogêneo
Da primeira vem (a=\tfrac1{20}]. Então

Passo 6

O particular é
yp = tfrac120x^5 + tfrac12 x^4 +3x^3 +12x^2
Assim a solução geral é
y = yh + yp = C1 + C2 x + C3 e^x + C4 x e^x + tfrac120x^5 + tfrac12 x^4 +3x^3 +12x^2

Resposta

boxedy(x) = C1 + C2 x + C3 e^x + C4,x,e^x ;+;120x^5 + 12 x^4 + 3x^3 + 12x^2

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